Dobrze, że nie zdawałeś, bo efekt mógłby być taki
Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
- MichalStajszczak
- Posty: 9551
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 523 times
- Been thanked: 1537 times
- Kontakt:
- MichalStajszczak
- Posty: 9551
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 523 times
- Been thanked: 1537 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Żeby odświeżyć wątek, proponuję następujący problem:
Mamy 13 kart - od asa do króla w jednym kolorze. Gracz A odkrywa jedną kartę (ale nie pokazuje jej graczowi B) i podejmuje decyzję: stawia 1 albo 5 złotych. Teraz kolej przychodzi na gracza B. Ma on do wyboru dwie możliwości:
- albo pasuje i wtedy gracz A wygrywa postawioną kwotę
- albo mówi "sprawdzam" - wtedy gra toczy się o podwójną stawkę i karta jest odkrywana.
Jeżeli odkrytą kartą jest król, dama albo walet - gracz A wygrywa podwójną stawkę, jeżeli jest to inna karta - podwójną stawkę wygrywa gracz B.
Karta wraca do talii, talia jest tasowana, przekładana i odbywa się następna rozgrywka na tych samych zasadach.
Załóżmy, że gracze rozgrywają bardzo długą serię rozgrywek. Kto wtedy wygra i ile wyniesie średnia wygrana na partię? (Jeżeli graliby dwie partie i w jednej A wygrał 5 złotych, a w drugiej B 2 złote, to A wygrywa średnio 3/2 złotego.)
Jakie są optymalne strategie dla obu graczy? Przez optymalną strategię rozumiem dla gracza A wybór stawki w zależności od wylosowanej karty, a dla gracza B decyzję: pasować czy sprawdzać, w zależności od tego, jaką stawkę wybrał gracz A.
Mamy 13 kart - od asa do króla w jednym kolorze. Gracz A odkrywa jedną kartę (ale nie pokazuje jej graczowi B) i podejmuje decyzję: stawia 1 albo 5 złotych. Teraz kolej przychodzi na gracza B. Ma on do wyboru dwie możliwości:
- albo pasuje i wtedy gracz A wygrywa postawioną kwotę
- albo mówi "sprawdzam" - wtedy gra toczy się o podwójną stawkę i karta jest odkrywana.
Jeżeli odkrytą kartą jest król, dama albo walet - gracz A wygrywa podwójną stawkę, jeżeli jest to inna karta - podwójną stawkę wygrywa gracz B.
Karta wraca do talii, talia jest tasowana, przekładana i odbywa się następna rozgrywka na tych samych zasadach.
Załóżmy, że gracze rozgrywają bardzo długą serię rozgrywek. Kto wtedy wygra i ile wyniesie średnia wygrana na partię? (Jeżeli graliby dwie partie i w jednej A wygrał 5 złotych, a w drugiej B 2 złote, to A wygrywa średnio 3/2 złotego.)
Jakie są optymalne strategie dla obu graczy? Przez optymalną strategię rozumiem dla gracza A wybór stawki w zależności od wylosowanej karty, a dla gracza B decyzję: pasować czy sprawdzać, w zależności od tego, jaką stawkę wybrał gracz A.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Panie i Panowie, wszystko fajnie i elegancko, może nawet kiedyś przeczytam i obejrzę przytoczone tu artykuły i wyjaśnienia w źródłach naukowych.
Trzeba oddać, że widać zapał i pasję w tym temacie ale na Wielkiego Meepla, mam nadzieję, że nie siedzicie przy stole z grą i kalkulatorem, i nie blokujecie tury do momentu wyliczenia wszystkich możliwych i dostępnych ruchów w celu wyboru tego jednego, dającego jeden punkcik więcej na planszy .
Jeśli zaś blokujecie, to do równania należy dorzucić, że prawdopodobieństwo wywołania u współgraczy negatywnych uczuć wzrasta wykładniczo z każdą kolejną minutą rzeźbienia w zwojach mózgowych .
Z przymrużeniem oka oczywiście! Pozdro
Trzeba oddać, że widać zapał i pasję w tym temacie ale na Wielkiego Meepla, mam nadzieję, że nie siedzicie przy stole z grą i kalkulatorem, i nie blokujecie tury do momentu wyliczenia wszystkich możliwych i dostępnych ruchów w celu wyboru tego jednego, dającego jeden punkcik więcej na planszy .
Jeśli zaś blokujecie, to do równania należy dorzucić, że prawdopodobieństwo wywołania u współgraczy negatywnych uczuć wzrasta wykładniczo z każdą kolejną minutą rzeźbienia w zwojach mózgowych .
Z przymrużeniem oka oczywiście! Pozdro
-
- Posty: 162
- Rejestracja: 12 lut 2014, 14:09
- Lokalizacja: Toruń
- Has thanked: 39 times
- Been thanked: 46 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Zastanawiam się nad pewnym problemem.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... . Nie ma możliwości, żeby dwóch graczy miało tę samą liczbę punktów, ale jest to rozwiązanie bardzo słabe, bo wygra gracz, który zdobędzie kartę z największą wartością punktową.
Rozwiązanie ciekawe: ???
Rozwiązanie przykładowe: 4, 5, 8, 10
Pierwsza myśl jest taka, że nie mogą istnieć 2 różne pary różnych liczb tż. ich różnica wynosi tyle samo. Ani, że nie istnieje para liczb, których różnica wynosi tyle co inna liczba. No dobra, ale co dalej?
Przypuszczam, że rozwiązanie będzie składało się z coraz większych liczb, które w grze będą po prostu niewygodne do liczenia i niemożliwe będzie stworzenie zestawu liczb, których będzie dużo, ale największa z tych liczb będzie...mała. Np. zbiór 10 liczb, i największa z nich jest mniejsza od 30.
Problem ogólnie: Jaki jest największy zbiór takich liczb, gdzie największa z tych liczb jest mniejsza lub równa N?
W trakcie dyskusji zmieniliśmy chyba problem na:
Jaka jest najmniejsza liczba w zbiorze liczb spełniających zagadnienie problemu dla liczebności zbioru = N?
Rozwiązanie nudne: karty z kolejnymi potęgami liczby 2.Problem polega na tym, że 2 (bądź więcej) graczy może zdobywać karty z punktami zwycięstwa, niektóre nie będą zdobyte przez nikogo, pozostałe będą do kogoś przypisane. Te karty muszą być tak stworzone, żeby nie było możliwości remisu w końcowym podliczeniu punktów.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... . Nie ma możliwości, żeby dwóch graczy miało tę samą liczbę punktów, ale jest to rozwiązanie bardzo słabe, bo wygra gracz, który zdobędzie kartę z największą wartością punktową.
Rozwiązanie ciekawe: ???
Rozwiązanie przykładowe: 4, 5, 8, 10
Pierwsza myśl jest taka, że nie mogą istnieć 2 różne pary różnych liczb tż. ich różnica wynosi tyle samo. Ani, że nie istnieje para liczb, których różnica wynosi tyle co inna liczba. No dobra, ale co dalej?
Przypuszczam, że rozwiązanie będzie składało się z coraz większych liczb, które w grze będą po prostu niewygodne do liczenia i niemożliwe będzie stworzenie zestawu liczb, których będzie dużo, ale największa z tych liczb będzie...mała. Np. zbiór 10 liczb, i największa z nich jest mniejsza od 30.
Problem ogólnie: Jaki jest największy zbiór takich liczb, gdzie największa z tych liczb jest mniejsza lub równa N?
W trakcie dyskusji zmieniliśmy chyba problem na:
Jaka jest najmniejsza liczba w zbiorze liczb spełniających zagadnienie problemu dla liczebności zbioru = N?
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2023, 21:07 przez Vanatox, łącznie zmieniany 1 raz.
- MichalStajszczak
- Posty: 9551
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 523 times
- Been thanked: 1537 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Obawiam się, że przy 10 liczbach największa z nich nie będzie mniejsza niż 512.Vanatox pisze: ↑15 wrz 2023, 10:07 Przypuszczam, że rozwiązanie będzie składało się z coraz większych liczb, które w grze będą po prostu niewygodne do liczenia i niemożliwe będzie stworzenie zestawu liczb, których będzie dużo, ale największa z tych liczb będzie...mała. Np. zbiór 10 liczb, i największa z nich jest mniejsza od 30.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
W związku z czym wydaje mi się, że to zły kierunek jeśli chodzi o punktację kart celów, bo oznacza to bardzo dużą dysproporcję ich wartości. Chyba trudno byłoby to z korzyścią dla gry zastosować w praktyce..
Ale może moja wyobraźnia jest zbyt wąska
Ale może moja wyobraźnia jest zbyt wąska
-
- Posty: 162
- Rejestracja: 12 lut 2014, 14:09
- Lokalizacja: Toruń
- Has thanked: 39 times
- Been thanked: 46 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Jest to dość prawdopodobne, że będzie to duża liczba.MichalStajszczak pisze: ↑15 wrz 2023, 11:32 Obawiam się, że przy 10 liczbach największa z nich nie będzie mniejsza niż 512.
Też tak myślę, a szkoda.
Chyba, że wprowadzimy ułamki albo, jeszcze lepiej, pierwiastki i inne liczby niewymierne
Pierwiastek z 2 punktów, pi punktów, itd...
Ale obawiam się, że sumowanie tego mogłoby być katorgą (szczególnie bez użycia kalkulatora)
- MichalStajszczak
- Posty: 9551
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 523 times
- Been thanked: 1537 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Dla czterech liczb optymalny (w sensie: największa liczba jak najmniejsza) byłby układ: 3, 5, 6, 7. Ale nie wiem jeszcze, jak to rozszerzyć na N liczb.
- eson83
- Posty: 82
- Rejestracja: 06 mar 2023, 15:11
- Lokalizacja: Wrocław
- Has thanked: 9 times
- Been thanked: 5 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
A takie rozwiązanie alternatywne (na potrzeby rozwiązywania remisów):
cześć kart będzie miało oznaczenia ^ a część oznaczenia v (np. 2^, 3v). I przy takich samych wynikach sumy punktów można zliczyć różnicę liczby wystąpień górnych i dolnych (#^ - #v), a później (przy kolejnym poziomie remisów) same ^ lub v. To powinno pozwolić na znaczące ograniczenie wartości punktowej kart.
-
- Posty: 917
- Rejestracja: 15 paź 2014, 19:16
- Has thanked: 1076 times
- Been thanked: 104 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie jestem w stanie w tym momencie potwierdzić, czy w każdym możliwym przypadku to zadziała, ale co powiecie na to, aby tymi punktami były liczby pierwsze większe od dwóch?
Zatem mamy:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...
Oczywiście 2 jest liczbą pierwszą, ale jeśli jej się nie usunie, to remis może się pojawiać np. 3 + 2 = 5, czy 41 + 2 = 43
Zatem mamy:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...
Oczywiście 2 jest liczbą pierwszą, ale jeśli jej się nie usunie, to remis może się pojawiać np. 3 + 2 = 5, czy 41 + 2 = 43
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie tylko pary.
1, 2, 5, 8 też nie może być.
5+7+11=23, więc też nie mogą razem "istnieć"
Myślałam o czymś podobnym, przez wprowadzenie np. 4 kolorów kart. Zarzuciłam pomysł, bo wydawało mi się, że to prowadzi po prostu do określenia różnych dróg punktowania, które to wyniki i tak trzeba później przeliczyć na wspólny, a zastosowanie różnych mnożników do poszczególnych kolorów w rzeczywistości przelicza wartości puktów na poszczególnych kartach na inne wartości niż na nich widnieją (ktoś jeszcze rozumie?), co może być mylące podczas gry (gdy jedno 5 jest rzeczywiście więcej warte niż drugie 5) oraz trudne do ogarnięcia/liczenia/szacowania podczas grania.eson83 pisze: ↑15 wrz 2023, 13:19 A takie rozwiązanie alternatywne (na potrzeby rozwiązywania remisów):
cześć kart będzie miało oznaczenia ^ a część oznaczenia v (np. 2^, 3v). I przy takich samych wynikach sumy punktów można zliczyć różnicę liczby wystąpień górnych i dolnych (#^ - #v), a później (przy kolejnym poziomie remisów) same ^ lub v. To powinno pozwolić na znaczące ograniczenie wartości punktowej kart.
Ale zastosowanie kolorów do takich operacji w algorytmie wyłaniającym zwycięzcę może faktycznie się sprawdzi..
Mam jeszcze myśl o różnych przelicznikach (mnożnikach) poszczególnych kolorów w zależności od tego ile ma się zdobytych karty danego koloru (np. których ten ktoś ma najwięcej), ale nie wiem czy w takim przypadku tym bardziej uda się ogarnąć to, żeby nie wychodziły remisy, jeśli ilość możliwych kombinacji będzie ogromna.
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2023, 13:49 przez agt, łącznie zmieniany 1 raz.
- sliff
- Posty: 966
- Rejestracja: 29 maja 2020, 15:27
- Lokalizacja: Poznań
- Has thanked: 339 times
- Been thanked: 403 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
A gdyby remisy był rozstrzygane liczbą kart w jedną lub drugą stronę 2+4 (+2) > 6 (+1), albo decyduje najwyższa karta np 1+9 > 8+2
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Albo w razie remisu każdy odrzuca kartę z najmniejsza/największą wartością i wtedy się określa zwycięzcę.
Można powtarzać do skutku.
- Mr_Fisq
- Administrator
- Posty: 5120
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1412 times
- Been thanked: 1634 times
- sliff
- Posty: 966
- Rejestracja: 29 maja 2020, 15:27
- Lokalizacja: Poznań
- Has thanked: 339 times
- Been thanked: 403 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tak trochę eksperymentuje i raczej jeśli nie ma dodatkowych warunków typu każdy z graczy zdobędzie po n kart albo 1 na pewno wypadnie to nie widzę możliwości aby liczby rosły wolnej niż 2^(n-1)
Zakładając sytuację 2 graczy gdzie pierwszy zdobywa tylko 1 kartę potrzebujemy :
dla 3 kart + 3 kombinacje = potrzebujemy 6 unikalnych wartości,
dla 4 kart + 10 kombinajci = 14 wartości,
dla 5 kart + 25 kombinacji =30 wartości,
dla 6 kart +56 kombinacji = 62 wartości,
Jakby nie patrzeć wychodzi ciąg 2^(n-1) (+0 i suma wszystkich kart)
Zakładając sytuację 2 graczy gdzie pierwszy zdobywa tylko 1 kartę potrzebujemy :
dla 3 kart + 3 kombinacje = potrzebujemy 6 unikalnych wartości,
dla 4 kart + 10 kombinajci = 14 wartości,
dla 5 kart + 25 kombinacji =30 wartości,
dla 6 kart +56 kombinacji = 62 wartości,
Jakby nie patrzeć wychodzi ciąg 2^(n-1) (+0 i suma wszystkich kart)
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2023, 15:10 przez sliff, łącznie zmieniany 1 raz.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Albo
Tylko, że wtedy zdobycie największej karty staje się jednym z celów gry. Na wszelki wypadek.
Z kolei przy odrzucaniu najniższych kart opłacalne jest zdobycie jedynki (czy karty najniższej), jednak nie przesądza to tak o wygraniu remisu jak warunek powyższy.
- Mr_Fisq
- Administrator
- Posty: 5120
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1412 times
- Been thanked: 1634 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Ale każde rozstrzygnięcie coś faworyzuje:
- Każdy odrzuca najniższą => Motywuje do zdobycia najniżej punktowanej karty.
- Liczba kart => skupienie się na wyżej punktowanych lub niżej punktowanych w zależności od tego co będziemy faworyzować.|
- Etc.
- Każdy odrzuca najniższą => Motywuje do zdobycia najniżej punktowanej karty.
- Liczba kart => skupienie się na wyżej punktowanych lub niżej punktowanych w zależności od tego co będziemy faworyzować.|
- Etc.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Owszem.
Jednak przy odrzucaniu najniższej karty nadal nie jest przesądzone kto wygrał. Zależy to od innych kart, które gracze zebrali.
Jeżeli decyduje posiadanie karty najwyższej, to kiedy ją zdobędziesz to od razu wiesz, że ewentualny remis wygrywasz. (Zakładam sytuację, że nowe karty celów nie wchodzą podczas gry i od razu widać, która jest najwyższa).
------
Można też zrobić tak, że niektóre z kart mają dodatkowy symbol, jakąś gwiazdkę czy koronę. W przypadku remisu zlicza się te symbole.
Dla rozgrywki będzie ciekawiej jeśli te symbole będą pojawiać się częściej na tych niżej punktowanych kartach.
- Mr_Fisq
- Administrator
- Posty: 5120
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1412 times
- Been thanked: 1634 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
No jakoś nie czuję Twojej argumentacji.agt pisze: ↑15 wrz 2023, 15:05Owszem.Spoiler:
Jednak przy odrzucaniu najniższej karty nadal nie jest przesądzone kto wygrał. Zależy to od innych kart, które gracze zebrali.
Jeżeli decyduje posiadanie karty najwyższej, to kiedy ją zdobędziesz to od razu wiesz, że ewentualny remis wygrywasz. (Zakładam sytuację, że nowe karty celów nie wchodzą podczas gry i od razu widać, która jest najwyższa).
Mogła byś przedstawić prosty przykład?
Edit:
Doprecyzuję - chodzi mi o prezentację układu liczb w którym mimo posiadania najmniejszej liczby przegrywasz remis korzystając z Twoich zasad.
- MichalStajszczak
- Posty: 9551
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 523 times
- Been thanked: 1537 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Analizując grę Dobble, sformułowałem kiedyś problem nieco prostszy:
Jak łatwo zauważyć, np. zestaw 1, 2, 6, 4 spełnia warunki mojego problemu ale nie spełnia warunków, które postawił Vanatox.
Liczbę rozwiązań określa ciąg z którego również wynika, że nie da się stworzyć zestawu Dobble mającego 7 albo 11 symboli (bo dla takich liczb ciąg ma wartość 0).Znaleźć cykl n liczb naturalnych, mający następującą własność: biorąc pojedyncze liczby z tego cyklu, a także sumując SĄSIADUJĄCE ze sobą pary, trójki, czwórki itd. można utworzyć n^2-n+1 różnych liczb. Innymi słowy żadna suma liczb w podcyklu się nie powtarza. Cykl jest zamknięty, tzn. ostatnia liczba sąsiaduje z pierwszą.
Dla n=3 rozwiązaniem jest cykl 1, 2, 4
Dla n=4 są dwa rozwiązania: 1, 2, 6, 4 oraz 1, 3, 2, 7
Dla n=5 jest jedno rozwiązanie: 1, 3, 10, 2, 5
Dla n=6 jest 5 rozwiązań, np. 1, 2, 5, 4, 6, 13
Dla n=7 nie ma rozwiązania
Dla n=8 jest 6 rozwiązań, np. 1, 3, 5, 11, 2, 12, 17, 6
Dla n=9 są 4 rozwiązania, np. 1, 2, 4, 8, 16, 5, 18, 9, 10
Jak łatwo zauważyć, np. zestaw 1, 2, 6, 4 spełnia warunki mojego problemu ale nie spełnia warunków, które postawił Vanatox.
- Mr_Fisq
- Administrator
- Posty: 5120
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1412 times
- Been thanked: 1634 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Z mojej perspektywy są dwie opcje, w zależności jak interpretować Twój wariant rozstrzygania remisu:
a) Tylko osoby remisujące na pierwszym miejscu są brane pod uwagę w dogrywce - tylko one odrzucają karty.
b) Wszystkie osoby są brane pod uwagę w dogrywce - wszyscy odrzucają karty.
Wariant:
a) Generuje lekką presję na zdobycie najmniejszej liczby, bo daje Ci gwarancję wygrania remisu, nakładając jednak wymaganie na zdobycie największej liczby punktów (przed rozpoczęciem rozpatrywania remisu), ograniczając korzyści.
b) Generuje jeszcze większą presję na zdobycie najmniejszej liczby na potrzeby przypadków typu:
1-5
3-4
7
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
To ja dopytam:
Ale wiesz, że w tych "moich zasadach" nie chodzi o to, że w razie remisu wygrywa ten kto posiada najniższą kartę, tylko, że w razie remisu każdy z remisujących odrzuca swoją najniższą kartę i wtedy, nadal w gronie remisujących, na nowo zliczane są punkty z pozostałych kart?
(Można to też robić w wersji odrzucania najwyższej. Nie wiem w sumie co jest ciekawsze.)
- Mr_Fisq
- Administrator
- Posty: 5120
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1412 times
- Been thanked: 1634 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Ale to jest równoważne, bo jeśli odrzuciłaś mniejszą liczbę niż przeciwnik to siłą rzeczy zostało Ci więcej punktów skoro startowałaś z tego samego pułapu (w końcu był remis).
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
A. Faktycznie..
A przez chwilę czułam się taka mądra
Masz rację. Czyli głupi pomysł.
Miałoby sens ewentualnie jako zabieg do całej gry, a nie do rozstrzygania remisów. Żeby zawsze przed podliczaniem odrzucać najwyższą i najniższą.
Ale to nie ten temat już