Myślę, że pora na podsumowanie dyskusji na temat dwóch asów.
Gdy przeczytałem w książce "GameTek", że w pierwszym przypadku jest 37%, a w drugim 56% też mnie to w pierwszej chwili zaskoczyło. Oczywiście nie miałem podstaw by uważać to za błąd - książka jest tekstowym przedstawieniem podcastów z Dice Tower, więc gdyby to nie była prawda, autor dawno by się o tym dowiedział. Ale kierując się zasadą "kontrola najwyższą formą zaufania" (autor nie przedstawił szczegółowych obliczeń, tylko te dwie liczby) wziąłem do ręki kalkulator i po kilku minutach miałem pewność, że wyniki są poprawne. Pomyślałem, że taki paradoks może zainteresować również innych użytkowników forum i stąd mój wpis. Założyłem jednak, że może ktoś będzie chciał sam dojść do tych rezultatów, więc wyniki obliczeń umieściłem w spoilerze.
Szczerze mówiąc zaskoczyło mnie to, że mój wpis wywołał dyskusję. Spodziewałem się raczej komentarzy w stylu "fajna ciekawostka" albo "triumf wiedzy nad zdrowym rozsądkiem". A tu nagle pojawiły się wyłącznie komentarze podważające przedstawione wyniki. Co ciekawe, nikt nie zakwestionował przedstawionych przeze mnie obliczeń, a przecież najprostszą metodą obalenia byłoby wykazanie błędów w tych obliczeniach. (Nawiasem mówiąc pewna nieścisłość w tych obliczeniach była. W pierwszym przypadku dla uproszczenia ograniczyłem liczby do trzech cyfr znaczących, a wynik podałem z dokładnością do czterech cyfr
- przy dokładnym obliczeniu zamiast 36,88% powinno być 36,96% ale to oczywiście nie zmienia faktu, że jest to prawie 37%.)
Myślę, że głównym powodem wątpliwości u wielu osób było niezrozumienie tego, jak działa prawdopodobieństwo warunkowe. Generalnie prawdopodobieństwo A pod warunkiem B jest ilorazem dwóch prawdopodobieństw: w liczniku mamy prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B, a w mianowniku prawdopodobieństwo zdarzenia B. Akurat w obu rozpatrywanych przypadkach zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B (po to, by mieć co najmniej dwa asy, trzeba mieć co najmniej jednego), więc w liczniku mamy po prostu prawdopodobieństwo zdarzenia A. Popatrzmy więc, jak w obu przypadkach wyglądają te prawdopodobieństwa:
Przypadek 1
Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego asa wynosi 69,62% (co może być zaskoczeniem dla malkontentów, którzy uważają, że rzadko kiedy jakiś as im się trafia).
Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej dwóch asów wynosi 25,73% (czyli też wcale nie jest takie małe, jak zapewne niektórzy podejrzewali).
Iloraz 25,73% przez 69,62% to niespełna 37%.
Przypadek 2
Prawdopodobieństwo otrzymania asa pik to oczywiście 25% (jest czterech graczy, każdy ma takie same szanse na tego asa, więc każdemu przypada po 1/4).
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że oprócz asa pik gracz ma jeszcze co najmniej jednego innego asa, to 14,03%.
Iloraz 14,03% przez 25% to trochę ponad 56%.
Jak widać, w drugim przypadku prawdopodobieństwo otrzymania dwóch lub więcej asów jest prawie dwa razy mniejsze niż w pierwszym ale mianownik jest mniejszy jeszcze bardziej i dlatego iloraz w drugim przypadku jest większy.
Przypuszczam, że większość dyskutantów skoncentrowało się bardziej na tym, co było w liczniku i tej istotnej zmiany mianownika mogli nie wziąć pod uwagę. Trafna jest zatem analogia do "rozpuszczalnika".