Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[MichalStajszczak]

17/25 ???

Dobrze, że nie zdawałeś, bo efekt mógłby być taki

[MichalStajszczak]

Żeby odświeżyć wątek, proponuję następujący problem:
Mamy 13 kart - od asa do króla w jednym kolorze. Gracz A odkrywa jedną kartę (ale nie pokazuje jej graczowi B) i podejmuje decyzję: stawia 1 albo 5 złotych. Teraz kolej przychodzi na gracza B. Ma on do wyboru dwie możliwości:
- albo pasuje i wtedy gracz A wygrywa postawioną kwotę
- albo mówi "sprawdzam" - wtedy gra toczy się o podwójną stawkę i karta jest odkrywana.
Jeżeli odkrytą kartą jest król, dama albo walet - gracz A wygrywa podwójną stawkę, jeżeli jest to inna karta - podwójną stawkę wygrywa gracz B.
Karta wraca do talii, talia jest tasowana, przekładana i odbywa się następna rozgrywka na tych samych zasadach.
Załóżmy, że gracze rozgrywają bardzo długą serię rozgrywek. Kto wtedy wygra i ile wyniesie średnia wygrana na partię? (Jeżeli graliby dwie partie i w jednej A wygrał 5 złotych, a w drugiej B 2 złote, to A wygrywa średnio 3/2 złotego.)
Jakie są optymalne strategie dla obu graczy? Przez optymalną strategię rozumiem dla gracza A wybór stawki w zależności od wylosowanej karty, a dla gracza B decyzję: pasować czy sprawdzać, w zależności od tego, jaką stawkę wybrał gracz A.

[Quel]

Panie i Panowie, wszystko fajnie i elegancko, może nawet kiedyś przeczytam i obejrzę przytoczone tu artykuły i wyjaśnienia w źródłach naukowych.

Trzeba oddać, że widać zapał i pasję w tym temacie ale na Wielkiego Meepla, mam nadzieję, że nie siedzicie przy stole z grą i kalkulatorem, i nie blokujecie tury do momentu wyliczenia wszystkich możliwych i dostępnych ruchów w celu wyboru tego jednego, dającego jeden punkcik więcej na planszy .

Jeśli zaś blokujecie, to do równania należy dorzucić, że prawdopodobieństwo wywołania u współgraczy negatywnych uczuć wzrasta wykładniczo z każdą kolejną minutą rzeźbienia w zwojach mózgowych .

Z przymrużeniem oka oczywiście! Pozdro

[Vanatox]

Zastanawiam się nad pewnym problemem.

Problem polega na tym, że 2 (bądź więcej) graczy może zdobywać karty z punktami zwycięstwa, niektóre nie będą zdobyte przez nikogo, pozostałe będą do kogoś przypisane. Te karty muszą być tak stworzone, żeby nie było możliwości remisu w końcowym podliczeniu punktów.

Rozwiązanie nudne: karty z kolejnymi potęgami liczby 2.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 ... . Nie ma możliwości, żeby dwóch graczy miało tę samą liczbę punktów, ale jest to rozwiązanie bardzo słabe, bo wygra gracz, który zdobędzie kartę z największą wartością punktową.

Rozwiązanie ciekawe: ???

Rozwiązanie przykładowe: 4, 5, 8, 10

Pierwsza myśl jest taka, że nie mogą istnieć 2 różne pary różnych liczb tż. ich różnica wynosi tyle samo. Ani, że nie istnieje para liczb, których różnica wynosi tyle co inna liczba. No dobra, ale co dalej?

Przypuszczam, że rozwiązanie będzie składało się z coraz większych liczb, które w grze będą po prostu niewygodne do liczenia i niemożliwe będzie stworzenie zestawu liczb, których będzie dużo, ale największa z tych liczb będzie...mała. Np. zbiór 10 liczb, i największa z nich jest mniejsza od 30.

Problem ogólnie: Jaki jest największy zbiór takich liczb, gdzie największa z tych liczb jest mniejsza lub równa N?

W trakcie dyskusji zmieniliśmy chyba problem na:

Jaka jest najmniejsza liczba w zbiorze liczb spełniających zagadnienie problemu dla liczebności zbioru = N?

[MichalStajszczak]

Przypuszczam, że rozwiązanie będzie składało się z coraz większych liczb, które w grze będą po prostu niewygodne do liczenia i niemożliwe będzie stworzenie zestawu liczb, których będzie dużo, ale największa z tych liczb będzie...mała. Np. zbiór 10 liczb, i największa z nich jest mniejsza od 30.

Obawiam się, że przy 10 liczbach największa z nich nie będzie mniejsza niż 512.

[agt]

W związku z czym wydaje mi się, że to zły kierunek jeśli chodzi o punktację kart celów, bo oznacza to bardzo dużą dysproporcję ich wartości. Chyba trudno byłoby to z korzyścią dla gry zastosować w praktyce..
Ale może moja wyobraźnia jest zbyt wąska

[Vanatox]

Obawiam się, że przy 10 liczbach największa z nich nie będzie mniejsza niż 512.

Jest to dość prawdopodobne, że będzie to duża liczba.

W związku z czym wydaje mi się, że to zły kierunek jeśli chodzi o punktację kart celów, bo oznacza to bardzo dużą dysproporcję ich wartości. Chyba trudno byłoby to z korzyścią dla gry zastosować w praktyce..

Też tak myślę, a szkoda.

Chyba, że wprowadzimy ułamki albo, jeszcze lepiej, pierwiastki i inne liczby niewymierne

Pierwiastek z 2 punktów, pi punktów, itd...
Ale obawiam się, że sumowanie tego mogłoby być katorgą (szczególnie bez użycia kalkulatora)

[MichalStajszczak]

Dla czterech liczb optymalny (w sensie: największa liczba jak najmniejsza) byłby układ: 3, 5, 6, 7. Ale nie wiem jeszcze, jak to rozszerzyć na N liczb.

[eson83]

Chyba, że wprowadzimy ułamki albo, jeszcze lepiej, pierwiastki i inne liczby niewymierne

Pierwiastek z 2 punktów, pi punktów, itd...
Ale obawiam się, że sumowanie tego mogłoby być katorgą (szczególnie bez użycia kalkulatora)

A takie rozwiązanie alternatywne (na potrzeby rozwiązywania remisów):
cześć kart będzie miało oznaczenia ^ a część oznaczenia v (np. 2^, 3v). I przy takich samych wynikach sumy punktów można zliczyć różnicę liczby wystąpień górnych i dolnych (#^ - #v), a później (przy kolejnym poziomie remisów) same ^ lub v. To powinno pozwolić na znaczące ograniczenie wartości punktowej kart.

[xilk]

Nie jestem w stanie w tym momencie potwierdzić, czy w każdym możliwym przypadku to zadziała, ale co powiecie na to, aby tymi punktami były liczby pierwsze większe od dwóch?
Zatem mamy:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...

Oczywiście 2 jest liczbą pierwszą, ale jeśli jej się nie usunie, to remis może się pojawiać np. 3 + 2 = 5, czy 41 + 2 = 43

[agt]

Pierwsza myśl jest taka, że nie mogą istnieć 2 różne pary różnych liczb tż. ich różnica wynosi tyle samo. Ani, że nie istnieje para liczb, których różnica wynosi tyle co inna liczba. No dobra, ale co dalej?

Nie tylko pary.
1, 2, 5, 8 też nie może być.

Nie jestem w stanie w tym momencie potwierdzić, czy w każdym możliwym przypadku to zadziała, ale co powiecie na to, aby tymi punktami były liczby pierwsze większe od dwóch?
Zatem mamy:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,...

5+7+11=23, więc też nie mogą razem "istnieć"

A takie rozwiązanie alternatywne (na potrzeby rozwiązywania remisów):
cześć kart będzie miało oznaczenia ^ a część oznaczenia v (np. 2^, 3v). I przy takich samych wynikach sumy punktów można zliczyć różnicę liczby wystąpień górnych i dolnych (#^ - #v), a później (przy kolejnym poziomie remisów) same ^ lub v. To powinno pozwolić na znaczące ograniczenie wartości punktowej kart.

Myślałam o czymś podobnym, przez wprowadzenie np. 4 kolorów kart. Zarzuciłam pomysł, bo wydawało mi się, że to prowadzi po prostu do określenia różnych dróg punktowania, które to wyniki i tak trzeba później przeliczyć na wspólny, a zastosowanie różnych mnożników do poszczególnych kolorów w rzeczywistości przelicza wartości puktów na poszczególnych kartach na inne wartości niż na nich widnieją (ktoś jeszcze rozumie?), co może być mylące podczas gry (gdy jedno 5 jest rzeczywiście więcej warte niż drugie 5) oraz trudne do ogarnięcia/liczenia/szacowania podczas grania.
Ale zastosowanie kolorów do takich operacji w algorytmie wyłaniającym zwycięzcę może faktycznie się sprawdzi..

Mam jeszcze myśl o różnych przelicznikach (mnożnikach) poszczególnych kolorów w zależności od tego ile ma się zdobytych karty danego koloru (np. których ten ktoś ma najwięcej), ale nie wiem czy w takim przypadku tym bardziej uda się ogarnąć to, żeby nie wychodziły remisy, jeśli ilość możliwych kombinacji będzie ogromna.

[sliff]

A gdyby remisy był rozstrzygane liczbą kart w jedną lub drugą stronę 2+4 (+2) > 6 (+1), albo decyduje najwyższa karta np 1+9 > 8+2

[agt]

A gdyby remisy był rozstrzygane liczbą kart w jedną lub drugą stronę 2+4 (+2) > 6 (+1), albo decyduje najwyższa karta np 1+9 > 8+2

Albo w razie remisu każdy odrzuca kartę z najmniejsza/największą wartością i wtedy się określa zwycięzcę.
Można powtarzać do skutku.

[Mr_Fisq]

Albo kto ma najwyższą kartę.

[sliff]

Tak trochę eksperymentuje i raczej jeśli nie ma dodatkowych warunków typu każdy z graczy zdobędzie po n kart albo 1 na pewno wypadnie to nie widzę możliwości aby liczby rosły wolnej niż 2^(n-1)

Zakładając sytuację 2 graczy gdzie pierwszy zdobywa tylko 1 kartę potrzebujemy :
dla 3 kart + 3 kombinacje = potrzebujemy 6 unikalnych wartości,
dla 4 kart + 10 kombinajci = 14 wartości,
dla 5 kart + 25 kombinacji =30 wartości,
dla 6 kart +56 kombinacji = 62 wartości,

Jakby nie patrzeć wychodzi ciąg 2^(n-1) (+0 i suma wszystkich kart)

[agt]

Albo kto ma najwyższą kartę.

Albo
Tylko, że wtedy zdobycie największej karty staje się jednym z celów gry. Na wszelki wypadek.

Z kolei przy odrzucaniu najniższych kart opłacalne jest zdobycie jedynki (czy karty najniższej), jednak nie przesądza to tak o wygraniu remisu jak warunek powyższy.

[Mr_Fisq]

Ale każde rozstrzygnięcie coś faworyzuje:
- Każdy odrzuca najniższą => Motywuje do zdobycia najniżej punktowanej karty.
- Liczba kart => skupienie się na wyżej punktowanych lub niżej punktowanych w zależności od tego co będziemy faworyzować.|
- Etc.

[agt]

Ale każde rozstrzygnięcie coś faworyzuje:
- Każdy odrzuca najniższą => Motywuje do zdobycia najniżej punktowanej karty.
- Liczba kart => skupienie się na wyżej punktowanych lub niżej punktowanych w zależności od tego co będziemy faworyzować.|
- Etc.

Owszem.
Jednak przy odrzucaniu najniższej karty nadal nie jest przesądzone kto wygrał. Zależy to od innych kart, które gracze zebrali.
Jeżeli decyduje posiadanie karty najwyższej, to kiedy ją zdobędziesz to od razu wiesz, że ewentualny remis wygrywasz. (Zakładam sytuację, że nowe karty celów nie wchodzą podczas gry i od razu widać, która jest najwyższa).

------

Można też zrobić tak, że niektóre z kart mają dodatkowy symbol, jakąś gwiazdkę czy koronę. W przypadku remisu zlicza się te symbole.
Dla rozgrywki będzie ciekawiej jeśli te symbole będą pojawiać się częściej na tych niżej punktowanych kartach.

[Mr_Fisq]

Spoiler:

Ale każde rozstrzygnięcie coś faworyzuje:
- Każdy odrzuca najniższą => Motywuje do zdobycia najniżej punktowanej karty.
- Liczba kart => skupienie się na wyżej punktowanych lub niżej punktowanych w zależności od tego co będziemy faworyzować.|
- Etc.

Owszem.
Jednak przy odrzucaniu najniższej karty nadal nie jest przesądzone kto wygrał. Zależy to od innych kart, które gracze zebrali.
Jeżeli decyduje posiadanie karty najwyższej, to kiedy ją zdobędziesz to od razu wiesz, że ewentualny remis wygrywasz. (Zakładam sytuację, że nowe karty celów nie wchodzą podczas gry i od razu widać, która jest najwyższa).

No jakoś nie czuję Twojej argumentacji.
Mogła byś przedstawić prosty przykład?

Edit:
Doprecyzuję - chodzi mi o prezentację układu liczb w którym mimo posiadania najmniejszej liczby przegrywasz remis korzystając z Twoich zasad.

[agt]

No jakoś nie czuję Twojej argumentacji.
Mogła byś przedstawić prosty przykład?

Dobrze. Tylko muszę przemyśleć i przygotować

[MichalStajszczak]

Analizując grę Dobble, sformułowałem kiedyś problem nieco prostszy:

Znaleźć cykl n liczb naturalnych, mający następującą własność: biorąc pojedyncze liczby z tego cyklu, a także sumując SĄSIADUJĄCE ze sobą pary, trójki, czwórki itd. można utworzyć n^2-n+1 różnych liczb. Innymi słowy żadna suma liczb w podcyklu się nie powtarza. Cykl jest zamknięty, tzn. ostatnia liczba sąsiaduje z pierwszą.
Dla n=3 rozwiązaniem jest cykl 1, 2, 4
Dla n=4 są dwa rozwiązania: 1, 2, 6, 4 oraz 1, 3, 2, 7
Dla n=5 jest jedno rozwiązanie: 1, 3, 10, 2, 5
Dla n=6 jest 5 rozwiązań, np. 1, 2, 5, 4, 6, 13
Dla n=7 nie ma rozwiązania
Dla n=8 jest 6 rozwiązań, np. 1, 3, 5, 11, 2, 12, 17, 6
Dla n=9 są 4 rozwiązania, np. 1, 2, 4, 8, 16, 5, 18, 9, 10

Liczbę rozwiązań określa ciąg z którego również wynika, że nie da się stworzyć zestawu Dobble mającego 7 albo 11 symboli (bo dla takich liczb ciąg ma wartość 0).
Jak łatwo zauważyć, np. zestaw 1, 2, 6, 4 spełnia warunki mojego problemu ale nie spełnia warunków, które postawił Vanatox.

[Mr_Fisq]

Dobrze. Tylko muszę przemyśleć i przygotować

Z mojej perspektywy są dwie opcje, w zależności jak interpretować Twój wariant rozstrzygania remisu:
a) Tylko osoby remisujące na pierwszym miejscu są brane pod uwagę w dogrywce - tylko one odrzucają karty.
b) Wszystkie osoby są brane pod uwagę w dogrywce - wszyscy odrzucają karty.

Wariant:
a) Generuje lekką presję na zdobycie najmniejszej liczby, bo daje Ci gwarancję wygrania remisu, nakładając jednak wymaganie na zdobycie największej liczby punktów (przed rozpoczęciem rozpatrywania remisu), ograniczając korzyści.
b) Generuje jeszcze większą presję na zdobycie najmniejszej liczby na potrzeby przypadków typu:

1-5
3-4
7

[agt]

Edit:
Doprecyzuję - chodzi mi o prezentację układu liczb w którym mimo posiadania najmniejszej liczby przegrywasz remis korzystając z Twoich zasad.

To ja dopytam:
Ale wiesz, że w tych "moich zasadach" nie chodzi o to, że w razie remisu wygrywa ten kto posiada najniższą kartę, tylko, że w razie remisu każdy z remisujących odrzuca swoją najniższą kartę i wtedy, nadal w gronie remisujących, na nowo zliczane są punkty z pozostałych kart?
(Można to też robić w wersji odrzucania najwyższej. Nie wiem w sumie co jest ciekawsze.)

[Mr_Fisq]

To ja dopytam:
Ale wiesz, że w tych "moich zasadach" nie chodzi o to, że w razie remisu wygrywa ten kto posiada najmniejszą liczbę, tylko, że w razie remisu każdy z remisujących odrzuca swoją najmniejsza kartę i wtedy na nowo zliczane są punkty z pozostałych kart?

Ale to jest równoważne, bo jeśli odrzuciłaś mniejszą liczbę niż przeciwnik to siłą rzeczy zostało Ci więcej punktów skoro startowałaś z tego samego pułapu (w końcu był remis).

[agt]

Spoiler:

To ja dopytam:
Ale wiesz, że w tych "moich zasadach" nie chodzi o to, że w razie remisu wygrywa ten kto posiada najmniejszą liczbę, tylko, że w razie remisu każdy z remisujących odrzuca swoją najmniejsza kartę i wtedy na nowo zliczane są punkty z pozostałych kart?

Ale to jest równoważne, bo jeśli odrzuciłaś mniejszą liczbę niż przeciwnik to siłą rzeczy zostało Ci więcej punktów skoro startowałaś z tego samego pułapu (w końcu był remis).

A. Faktycznie..
A przez chwilę czułam się taka mądra
Masz rację. Czyli głupi pomysł.

Miałoby sens ewentualnie jako zabieg do całej gry, a nie do rozstrzygania remisów. Żeby zawsze przed podliczaniem odrzucać najwyższą i najniższą.
Ale to nie ten temat już