Co do Troyes, Panowie wyżej mają całkowitą rację!
Co do Sałatki, to rzeczywiście jest to trudne zagadnienie!
Ale spróbujmy.
Mam nadzieję, że nie pomyliłem reguł, bo posiłkowałem się tym:
https://www.youtube.com/watch?v=jB_56quRmWI
I, o ile się nie mylę: to mamy do dyspozycji 6 kart warzyw (reszta to karty przepisów) - co turę gracze na zmianę dobierają 2 warzywa albo 1 kartę punktującą. Karty punktów nigdy się nie wyczerpują, chyba że dojdzie do momentu, gdy na stole pozostanie 5-6 kart - wtedy pozostają tylko warzywa. Ok, sprawdziłem też spisane reguły, bez obaw
Dla uproszczenia rozważmy rozgrywkę na 2 graczy.
Najmniejsza teoretyczna liczba kart jaką może zdobyć gracz to 12, największa to 24.
Natomiast gdy w grze pozostanie 5-6 kart, to każda z nich będzie obrócona na stronę warzywa, to powoduje, że najmniejszą liczbą kart, jaką zdobędzie gracz jest:
14 w przypadku gracza rozpoczynającego
12 w przypadku gracza drugiego.
Oczywiście są to przypadki skrajne, bo zakładają, że przeciwnik (ten co zebrał więcej kart) brał tylko warzywa, więc dostanie 0 punktów, dlatego musimy rozważyć przypadek, gdzie obaj gracze zbierają przynajmniej jedną kartę punktującą;
I tutaj bez względu na to, który gracz zaczynał, wychodzi wtedy, że można zebrać między 13, a 23 kartami.
Inny przypadek skrajny jest taki, że obaj gracze dobierają tylko karty punktów, czyli największa możliwa liczba kart punktów na gracza wynosi 18.
Rozważamy karty każdego z gracza jako osobny zbiór - każdy zbiór składa się z X przepisów i N-X warzyw, gdzie przepisy są unikatowe, a warzywa się powtarzają (jak słusznie zauważył wyżej Michał).
Rozważanie wszystkich możliwych kombinacji byłoby karkołomne i łatwiej to zrobić numerycznie, dlatego przy podejściu analitycznym, trzeba ten problem przedstawić inaczej:
Z racji tego, że kolejność kart nie ma znaczenia, ustawiamy je w jednym rzędzie. Każdej z kart przypisujemy indeks od 1 do 36 i będziemy indeksom przypisywali gracza + stan (warzywo/punkty) - w związku z tym każda z tych kart trafi albo do gracza A, albo do gracza B (bo wszystkie karty zawsze zostaną rozdane między graczy), z zastrzeżeniem, że do jednego gracza nie może trafić mniej niż 13 kart.
Biorąc te założenia pod uwagę dostajemy wszystkie możliwe przyporządkowania kart jako: (kombinacja 13 z 36) * (kombinacja 13 z 23) * (2^10) (pozostałe 10 kart są po prostu przydzielane graczowi A lub graczowi B).
Następnie, każda karta może pojawić się stroną warzywa ku górze lub stroną punktową: to liczymy najprościej jak się da, czyli 2^36.
I tutaj pojawiają się dwa problemy:
1) w pewnych przypadkach różne karty przepisów pokażą to samo warzywo, gdy je obrócimy. Czyli część kombinacji jest tylko pozornie unikatowa (ale nie jest to trywialne), i tutaj kończy się kombinatoryka, a spróbujemy posłużyć się prawdopodobieństwem.
Obliczmy szansę na pojawienie się unikatowego zestawu. Założenie jest takie, że przynajmniej ten gracz, który ma mniej kart z jednego koloru (czyli 0, 1, 2 albo 3) musi mieć je wszystkie pod postacią punktową. Szansa ta wynosi: (1+1/2+1/4+1/4+1/2+1)/6 czyli 7/12. Dla każdego koloru jednocześnie wynosi więc (7/12)^6.
2) podczas uproszczenia, przy obliczeniu 2^36 nie wzięliśmy pod uwagę tego, że jeden gracz nie może mieć więcej niż 18 kart punktujących oraz że nie ma sensu mieć tylko samych warzyw, w związku z tym znów posłużymy się probabilistyką. Czyli liczymy tę szansę, to powinno być proste: (i tutaj już mój mózg nie wytrzymał, już nic mi więcej do głowy nie przychodzi, ale coś mi świta, że prawdopodobieństwo geometryczne się tu przyda). Może ktoś przejąć pałeczkę...
Jest też szansa, że gdzieś coś zgubiłem, ale zabawy miałem co niemiara więc dziękuję za fajną zagadkę
Do tej pory wyszło mi
https://www.wolframalpha.com/input/?i=C ... 2C6%29%5E6
(na końcu mnożę całość przez możliwe zestawy 36 kart ze 108, ale to też generuje możliwe duplikaty, więc psuje to cały ten wywód).
Wychodzi duża liczba, jestem ciekaw czy szansa z punktu drugiego powyżej mocno zmniejszy tę wartość?
Ok, to jakie jest prawidłowe rozwiązanie tej zagadki? 42?
PS: Chciałem tylko jeszcze wrzucić inną grę, która mi się z tym wątkiem skojarzyła: Dobble. Magicznym jest dla mnie to, że gra składa się z 55 kart, na każdej z nich jest 8 różnych symboli, wybranych z puli 50 wszystkich symboli. I pomiędzy dowolną parą kart jest dokładnie jeden wspólny symbol. Piękne po prostu
PS2: Pamiętam, że czytałem też kiedyś jakiś artykuł na BGG nt. matematyki w Fasolkach (oryginalnie Bohnanza). Ale to były już jakieś zaawansowane rozważania, nic z tego nie pamiętam.
Ok, dobranoc!
). Najpierw w ramach jednego koloru dla jasności przekazu.
). Sam również sobie musiałem trochę sprawy przypomnieć. Sama matematyka za to przez wielu uważana jest za dziedzinę jak najbardziej humanistyczną