Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[Kajdi]

Ja też nie czaję czym to się ma różnić. Przecież pytanie jest o dobranie dowolnego innego asa, więc kolor nie ma nic do rzeczy. W obu przypadkach w talii pozostają 3 karty spełniające warunek (w drugim przypadku: as kier, as karo, as trefl; w pierwszym przypadku: as X, as Y, as Z).

[BartP]

donmakaron: patrzyłem na to z tej strony i doszedłem do odwrotnych wniosków niż ty:
mam karo, i chcę pik lub kier lub trefl
lub mam kier, i chcę pik lub karo lub trefl
lub...
lub...

tak naprawdę "skraca" się do:
mam dowolnego, i dawaj innego

Ale tak "na pałę", nie udowodnię tego .

[Fojtu]

Tak naprawdę zadanie sprowadza się to tego jakie jest prawdopodobieństwo niewylosowania asa w 12 kartach z 51 jeżeli są tam 3 asy.
Niezależnie z jakim asem zaczynamy, nie ma to znaczenia, zadanie sprowadza się do tego samego.

[Mr_Fisq]

Mi trochę inne liczby wychodzą, bo:
1. Dokładnie: 67/157 czyli ~= 38.28%
2. Dokładnie 37/64 czyli ~=57.8125%

Jak ktoś chce, to mogę podesłać komplet przypadków, żeby policzyć sobie ręcznie (istotnych przypadków jest 256, więc nie aż tak dużo)

[Fojtu]

Może pomoże jak spojrzymy na to tak:
W drugim przypadku mam:
- asa pikowego i sprawdzam jaka jest szansa na dobranie dowolnego innego. I tyle.

W pierwszym przypadku mam:
- asa pikowego i sprawdzam jaka jest szansa na dobranie dowolnego innego;
albo
- asa kierowego i sprawdzam jaka jest szansa...;
albo
- asa karo i sprawdzam...;
albo
- asa trefl i...;

Każde z powyższych ma swoją własną szansę, a ja mam osobną szansę na jedno albo drugie albo trzecie lub też czwarte. Ale że część z układów się powiela (nie ma różnicy czy mam asa kier i dobieram trefl, czy mam asa trefl a dobieram kier [i resztę takich samych kart]), prawdopodobieństwo nie jest czterokrotnie większe, a tylko trochę większe.

Niejako przypadek drugi jest jakąś tam częścią przypadku pierwszego, ale poza nim występuje jeszcze ileś tam układów, które go spełniają.

Faktycznie masz rację. Ja to bardziej rozumiałem, że daję Ci asa i jaka jest szansa na to, że w kolejnych 12 dostaniesz minimum jednego asa. Jakiekogolwiek asa bym Ci nie dał, to szansa na asa lub więcej w kolejnych 12 kartach jest taka sama. Patrzyłem z punktu widzenia gracza a nie gry.

[BartP]

Fojtu pisał wcześniej:

Tak naprawdę zadanie sprowadza się to tego jakie jest prawdopodobieństwo niewylosowania asa w 12 kartach z 51 jeżeli są tam 3 asy.

Ja identycznie o tym myślałem. Więc de facto który przypadek to rozumowanie prezentuje?

[Arius]

Może pomoże jak spojrzymy na to tak:
W drugim przypadku mam:
- asa pikowego i sprawdzam jaka jest szansa na dobranie dowolnego innego. I tyle.

W pierwszym przypadku mam:
- asa pikowego i sprawdzam jaka jest szansa na dobranie dowolnego innego;
albo
- asa kierowego i sprawdzam jaka jest szansa...;
albo
- asa karo i sprawdzam...;
albo
- asa trefl i...;

Każde z powyższych ma swoją własną szansę, a ja mam osobną szansę na jedno albo drugie albo trzecie lub też czwarte. Ale że część z układów się powiela (nie ma różnicy czy mam asa kier i dobieram trefl, czy mam asa trefl a dobieram kier [i resztę takich samych kart]), prawdopodobieństwo nie jest czterokrotnie większe, a tylko trochę większe.

Niejako przypadek drugi jest jakąś tam częścią przypadku pierwszego, ale poza nim występuje jeszcze ileś tam układów, które go spełniają.

A czym różnią się szanse dobrania drugiego asa jak masz pikowego, a czym jak masz kierowego?

Aczkolwiek o ile na prosty rozum, to powinny być dwie takie same odpowiedzi, to jednak skłaniam się ku opcji Michała.
Czemu?
Dlatego, że te dwa przypadki jednak są różne.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A można policzyć jako stosunek liczby elementów zbioru A do liczby wszystkich możliwych elementów (nazwijmy go zbiór Omega).
W naszym przypadku A to sytuacja że mamy 2 asy.
Ale czym jest zbiór Omega?
W obu przypadkach są różne.
W pierwszym będzie zawierał wszystkie rozdania gdy mamy chociaż jednego, dowolneto asa. W drugim wszystkie te w którym mamy konkretną kartę, tu asa pikowego.
Więc z matematycznego punktu różny wynik nie zaskakuje, bo matematycznie opisane zbiory są różne i ich liczebność też.
Sprowadzanie tego Fojtu do zdarzenia przeciwnego też będzie opisywało dwa różne przypadki.

Żeby doprecyzować dodam:
Jakie mam szanse posiadania 2 dowolnych asów?
A jakie na asa pik i dowolnego innego asa?
Ten pierwszy przypadek spełnia rozdanie gdy mam asa kier i karo. Drugiego już nie.


Dobra. Poszperałem na necie i fajny przykład znalazłem.
Mamy 3 karty. As pik, as kier i 2 kier.
Gracz dostaje dwie karty.
Jakie ma szansę na 2 asy, jeśli wiemy, że ma jakiegoś asa. A jakie jeśli ma asa pik.
W przypadku jak ma asa pik szansa na 2 asy to 50%.
Dlaczego? Ponieważ zostają dwie karty, więc 1/2.
W przypadku dowolnego asa. Najpierw musimy wylosować jednego asa z 3 kart. Sukces to 2/3. A potem jednego asa z 2 kart (sukces to 1/2). Finalny wynik to 1/3 (iloczyn obu sukcesów).

[Kajdi]

W przypadku dowolnego asa. Najpierw musimy wylosować jednego asa z 3 kart. Sukces to 2/3. A potem jednego asa z 2 kart (sukces to 1/2). Finalny wynik to 1/3 (iloczyn obu sukcesów).

No właśnie nie, bo skoro w treści zadania jest, że "wiemy, że ma jakieś asa", to to jest już z góry założone i szansa na sukces też wynosi 50%. 1/3 to szansa sukcesu przy założeniu losowania dwóch dowolnych kart (i tu się zgadza, bo jest to 1 z 3 możliwych permutacji: as kier + as pik, as kier + blotka, as pik + blotka).

[donmakaron]

edit: uwaga poniższe, choć jakiś tam sens ma, mija się z tematem...

Bo tu nie chodzi o to, że:
- mam dowolnego asa na ręce i dobieram 12 kart, w których jest inny as;
lub
- mam asa pik na ręce i dobieram 12 kart, w których jest inny as;

a chodzi o:

- dobieram 13 kart, w których są dwa asy;
lub
- dobieram 13 kart, w których jest as pik i jeszcze jeden as.



Zawsze pomaga zrozumieć jak się zredukuje zbiór i spojrzeć na wszystkie możliwe wyniki.

Mamy talię 5 kartową, składającą się z trzech asów (kier, karo, pik) i dwóch jokerów. Dobieram dwie karty.

Jaka jest szansa, że mam tam dowolnego asa i dowolnego innego asa? Mamy 10 wszystkich możliwych układów, z czego 3 spełniają warunek (as kier + as karo, as kier + as pik, as karo + as pik). Wychodzi 30%.

Ta sama talia, jaka jest szansa, że dobieram asa pik i dowolnego innego asa? Mamy te same 10 wszystkich układów, z czego już tylko 2 spełniają warunek (as pik + as kier oraz as pik + as karo, bo as kier + as karo już nie działa). 20%

Zadanie jest sformułowane podchwytliwie, żeby sugerować, że tego asa już mamy (jaki by on nie był), następnie dobieramy do pełnej ręki i sprawdzamy czy jest tam as. Wtedy oczywiście szansa na jednego z trzech asów z 51 kart dobierając 12 jest taka sama, niezależnie jakiego asa mamy na ręku. Trzeba znać jednak zasady gry i wiedzieć, że karty dobiera się na raz. Więc czy jest to dowolna para asów, a czy jest to as pik i dowolny inny as - oto różnica.

W mojej 5 kartowej talii jeśli dobieram dowolnego asa, a potem jeszcze jedną kartę, mam zawsze 50% szans na asa. Jeśli mam na ręce asa pik i dobieram jedną kartę, mam również 50% na kolejnego asa. Jeśli natomiast dobieram dwie karty na raz, to szansa na parę asów jest inna niż na dobranie asa pik i dowolnego innego asa.

[BartP]

Ja jakiś niekumaty chyba jestem.

szansa na parę asów jest inna niż na dobranie asa pik i dowolnego innego asa.

To jest oczywiste. Ale w pr-e warunkowym ważne jest to, że pewna rzecz już się wydarzyła. Wiadomo, że masz asa; najchętniej bym prawdopodobieństwa tego zdarzenia w ogóle nie brał pod uwagę, jeśli nie muszę. Wiem, że do wzoru muszę, ale to jedynie wzór, na pewno można to też inaczej policzyć; choćby wypisując cały zbiór przypadków itp. Czy to jest jakaś gra słowna i należy to inaczej interpretować. Jest późno, jestem zmęczony i może jakichś podstaw nie łapię.

Po drugie, nawet przyjmując (na razie na wiarę, bo wciąż nie kumam), że tak jest, to czemu scenariusz z asem pik jest *bardziej* prawdopodobny (50+%)? Wg twojego posta powinno być zgoła odwrotnie.

[donmakaron]

[...]
Po drugie, nawet przyjmując (na razie na wiarę, bo wciąż nie kumam), że tak jest, to czemu scenariusz z asem pik jest *bardziej* prawdopodobny (50+%)? Wg twojego posta powinno być zgoła odwrotnie.

Dobra, sam też namieszałem. U mnie też jest późno

To może inaczej. W tej mojej talii pięciokartowej i dwukartowej ręce byłoby:
1. Wiadomo, że gracz ma dowolnego asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma dowolnego innego asa? Wszyskich układów jest 10. Układów z dwoma asami jest 3 (as pik + as kier, as pik + as karo, as karo + as kier). 30%
2. Wiadomo, że gracz ma asa pik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma dowolnego innego asa? Wszystkich układów z asem pik jest cztery (as pik + as karo, as pik + as kier, as pik + jokerA, as pik + joker B), z czego układy z innym asem są dwa (as pik + as kier, as pik + as karo). Czyli wychodzą nam 2 z 4 możliwych układów = 50%.

[MichalStajszczak]

Geoffrey Engelstein, z którego książki pochodzi ten problem, dodał taki komentarz:

Gdy pierwszy raz usłyszałem o tym zagadnieniu, nie mogłem uwierzyć, że to prawda. Bo to wygląda bez sensu. Ale jednak tak jest.

Zdając sobie sprawę, że wielu czytelników będzie miało wątpliwości - po dyskusji w tym wątku widać, że jego obawy były trafne - zaproponował, by rozważyć problem znacznie prostszy: dwa asy i dwa króle powiedzmy pikowe i kierowe. Oczywiście wyniki liczbowe są inne niż przy losowaniu 13 kart z talii ale ten maksymalnie uproszczony model pokazuje, że prawdopodobieństwa warunkowe dla przypadków "dowolny as" i "konkretny as" są (wbrew intuicji) różne.
Wygląda to tak - losujemy z tych czterech kart dwie. Jest 6 możliwości:
- as pik i as kier
- as pik i król pik
- as pik i król kier
- as kier i król pik
- as kier i król kier
- król pik i król kier
Jest zatem 5 przypadków, w których gracz ma jakiegoś asa ale z tych pięciu tylko w jednym ma dwa asy.
A jak wygląda sytuacja, gdy wiadomo, że ma asa pikowego? Tylko trzy pierwsze układy spełniają ten warunek. A zatem mamy 1/3 szans na dwa asy, a nie 1/5 jak w pierwszym przypadku.
Triumf wiedzy nad zdrowym rozsądkiem - jak w podobnych sytuacjach mówił jeden z moich profesorów.

[Kajdi]

OK, chyba w końcu zrozumiałem. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że wyniki będą identyczne, bo w obu przypadkach spełnia je ta sama liczba permutacji, ale uszczegółowienie koloru asa "zagęszcza" nam wyniki poprzez usunięcie z puli dostępnych możliwości części kombinacji, które nie spełniają warunku. Czyli to taki probabilistyczny odpowiednik odparowania rozpuszczalnika.

[Fojtu]

Faktycznie, to wyjaśnienie o zagęszczeniu jest chyba najbardziej zrozumiałe. Jeden zbiór po prostu bardziej się zmniejsza niż drugi.

Swoją drogą, co jeżeli zmienimy treść zadania odrobinę?

W brydżowym rozdaniu każdy gracz otrzymuje na początek 13 kart. Mamy dwa bardzo podobne zagadnienia:
1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Tutaj mój chłopski rozum chyba zrobi seppuku jak się dowiem, że to są inne prawdopodobieństwa

[Cyel]

Triumf wiedzy nad zdrowym rozsądkiem - jak w podobnych sytuacjach mówił jeden z moich profesorów.

Fantastyczny cytat Świetne podsumowanie tego czym jest błąd poznawczy.

[mirukan]

Faktycznie, to wyjaśnienie o zagęszczeniu jest chyba najbardziej zrozumiałe. Jeden zbiór po prostu bardziej się zmniejsza niż drugi.

Swoją drogą, co jeżeli zmienimy treść zadania odrobinę?

W brydżowym rozdaniu każdy gracz otrzymuje na początek 13 kart. Mamy dwa bardzo podobne zagadnienia:
1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Tutaj mój chłopski rozum chyba zrobi seppuku jak się dowiem, że to są inne prawdopodobieństwa

W tym wypadku prawdopodobieństwo jest dokładnie takie same . Bo dalej dotyczy to tego samego zbioru (asów pozostających w talii) a Ty tylko nazwałeś asa którego otrzymałeś a on już nie należy do tego zbioru

[Fojtu]

Faktycznie, to wyjaśnienie o zagęszczeniu jest chyba najbardziej zrozumiałe. Jeden zbiór po prostu bardziej się zmniejsza niż drugi.

Swoją drogą, co jeżeli zmienimy treść zadania odrobinę?

W brydżowym rozdaniu każdy gracz otrzymuje na początek 13 kart. Mamy dwa bardzo podobne zagadnienia:
1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Tutaj mój chłopski rozum chyba zrobi seppuku jak się dowiem, że to są inne prawdopodobieństwa

W tym wypadku prawdopodobieństwo jest dokładnie takie same . Bo dalej dotyczy to tego samego zbioru (asów pozostających w talii) a ty tylko nazwałeś asa którego otrzymałeś a on już nie należy do tego zbioru

No i właśnie dlatego to zadanie jest tak mylące, bo człowiek upraszcza to do czegoś takiego.

[mirukan]

No i właśnie dlatego to zadanie jest tak mylące, bo człowiek upraszcza to do czegoś takiego.

Przeczytaj jeszcze raz ze zrozumieniem treść zadania :

1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Powtórzę : jeszcze jednego
Kolor asa którego otrzymałeś jest bez znaczenia przy tak postawionym pytaniu bo pytanie dotyczy pozostałych asów w talii .

[Fojtu]

No i właśnie dlatego to zadanie jest tak mylące, bo człowiek upraszcza to do czegoś takiego.

Przeczytaj jeszcze raz ze zrozumieniem treść zadania :

1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Powtórzę : jeszcze jednego
Kolor asa którego otrzymałeś jest bez znaczenia przy tak postawionym pytaniu bo pytanie dotyczy pozostałych asów w talii .

Znaczy nie bardzo rozumiem do czego teraz piszesz, ja tylko napisałem, jak większość osób zrozumie (uprości sobie, nieprawidłowo) zadanie, które napisał Michał. Ja tak sobie zrobiłem w głowie i podejrzewam, że to samo zrobił Bart.

[mirukan]

No i właśnie dlatego to zadanie jest tak mylące, bo człowiek upraszcza to do czegoś takiego.

Przeczytaj jeszcze raz ze zrozumieniem treść zadania :

1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Powtórzę : jeszcze jednego
Kolor asa którego otrzymałeś jest bez znaczenia przy tak postawionym pytaniu bo pytanie dotyczy pozostałych asów w talii .

Znaczy nie bardzo rozumiem do czego teraz piszesz, ja tylko napisałem, jak większość osób zrozumie (uprości sobie, nieprawidłowo) zadanie, które napisał Michał. Ja tak sobie zrobiłem w głowie i podejrzewam, że to samo zrobił Bart.

OK Mnie się wydawało że kwestionujesz to co napisałem na temat zadania które przedstawiłeś Ty . Teraz ja nie zrozumiałem Twojego wpisu . Sorki

[BartP]

Jak sobie człowiek to rozpisze (dzięki Michale!) na proste przypadki, to rzeczywiście widać jak na dłoni. Ale nadal nie widzę tego momentu, w którym jest tu drobna różnica w rozumowaniu, muszę to przemyśleć albo ktoś musi mi to lepiej wytłumaczyć.

Rozważmy ten banalny przykład z dwoma asami i dwoma królami.
Siedzi koleś naprzeciwko mnie z dwiema kartami w łapie. Patrzy na nie i mówi
- Mam asa...
I mam sobie pomyśleć w tym momencie "aha, pr-o, że ma drugiego jest 1/5"
- ...pik - dokańcza zdanie
A nie, to zmienia obraz rzeczy, teraz nagle 1/3, że ma również kierowego.

Ale jakby potoczyła się sytuacja inaczej:
- Mam asa...
Mhm, 1/5 - myśli Bartek
- ...kierowego - dokańcza
Łup! 1/3 nagle

No i tego nie kumam. Mówiąc "mam asa" ma przecież na myśli albo scenariusz pikowy albo kierowy. Ponieważ oba się już wydarzyły, więc ich pr-o jest pomijalne (choć równie prawdopodobne tak czy siak). Więc skoro wiadomo, że to albo pikowy albo kierowy scenariusz, dalej jest albo pr-o 1/3, że ma drugiego, albo 1/3, że ma drugiego, to czemu od razu nie powiedzieć 1/3? Co tu spłyciłem?

Czuję, że gdzieś tu wisi ten "as pik i as kier" jest wspólny dla obu zbiorów, ale jeszcze tego nie widzę.

[Super]

Kluczem jest zrozumienie treści zadania i tego co chcemy policzyć a nie samego sposobu wyliczenia prawdopodobienstwa (które jest dość łatwe ).

Błędne rozumowanie wynika z tego że rozpatrujesz zadanie w taki sposób: otrzymales asa/asa pik jako pierwszą kartę, jakie jest prawdopodobieństwo ze otrzymasz drugiego. A wtedy są to zdarzenia niezależne.

Należy popatrzeć na zadanie w taki sposób: jakie jest prawdopodobieństwo że otrzymasz asa jako drugą kartę jeżeli pierwszą kartą jaką dostaniesz będzie as/as pik. I wtedy wjeżdża prawdopodobieństwo warunkowe i zmienia postać rzeczy bo warunek do spelnienia (otrzymanie asa albo otrzymanie konkretnego asa pik) ma inną szansę na zaistnienie

Ale faktycznie bardzo fajny przykład, który mocno wymyka się intuicji.

[kaszkiet]

Gdzieś kiedyś czytałem dobry przykład niezrozumienia jak wylicza się prawdopodobieństwo, jak ważne są założenia do danego przypadku, a także moment, w którym się je wylicza.

Wraca człowiek do domu i krzyczy od progu:
- ale miałem dziś szczęście! Widziałem samochód o numerze rejestracyjnym WI 7442C! Jaka była szansa, że zobaczę akurat ten?

[donmakaron]

[...]
- Mam asa...
I mam sobie pomyśleć w tym momencie "aha, pr-o, że ma drugiego jest 1/5"
- ...pik - dokańcza zdanie
A nie, to zmienia obraz rzeczy, teraz nagle 1/3, że ma również kierowego.
[...]

Wiedzieć, że ktoś ma asa, a wiedzieć, że ktoś ma asa pik, to różne informacje. W tej pierwszej zawiera się dużo więcej układów spełniających taki warunek wyjściowy, niż w drugim. Część z nich się pokrywa, ale tylko część. Chciałoby się rozwiązać te dwa problemy w tym samym rozsądkiem, a przecież operujemy na innym zbiorze i innych warunkach.

Nie jest to intuicyjne, ale można sobie wyobrazić, że w drugiej opcji z puli wszystkich dostępnych przypadków, gdzie gracz nie ma więcej asów, odpadły wszystkie, w których w kartach niedobranych jest as pik. Więc jest mniej przypadków, gdzie asy utknęły w talii (czy w brydżowym przypadku - na rękach innych graczy), a co za tym idzie - prawdopodobieństwo rośnie. Oczywiście upraszczam, ale w pierwszej opcji trzeba wziąć pod uwagę wszystkie przypadki na nie:
- mam asa pik, w talii są asy kier, karo, trefl;
- mam asa karo, w talii są asy kier, pik, trefl;
- mam asa trefl, w talii są asy kier, pik i karo;
- mam asa kier, w talii są asy pik, trefl i kier;
A w drugim przypadku tylko:
- mam asa pik, w talii są asy kier, karo i trefl;
Patrząc na to w ten sposób już intuicja może (choć nie musi) nam podpowiedzieć, że w pierwszym przypadku wariantów na nie jest więcej niż w drugim.

A my nadal intuicji wierzyć nie musimy i możemy to policzyć

[Beo]

Jak sobie człowiek to rozpisze (dzięki Michale!) na proste przypadki, to rzeczywiście widać jak na dłoni. Ale nadal nie widzę tego momentu, w którym jest tu drobna różnica w rozumowaniu, muszę to przemyśleć albo ktoś musi mi to lepiej wytłumaczyć.

(...)

Problem jest faktycznie dość ciekawy, warto dalej skupić się już tylko na uproszczonym przykładzie król/as, gdyż nie zmienia to za wiele w rozumowaniu, a łatwiej objąć umysłem konkretny przykład. Pojedźmy więc po kolei.

(...)

Swoją drogą, co jeżeli zmienimy treść zadania odrobinę?

W brydżowym rozdaniu każdy gracz otrzymuje na początek 13 kart. Mamy dwa bardzo podobne zagadnienia:
1. Otrzymałeś asa jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Otrzymałeś asa pik jako pierwszą kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymasz jeszcze co najmniej jednego asa?

Tutaj mój chłopski rozum chyba zrobi seppuku jak się dowiem, że to są inne prawdopodobieństwa

Będąc precyzyjnym, przy twoim sformułowaniu oba prawdopodobieństwa są identyczne, bo pierwszą kartę 'otrzymałeś', gdzie istotny jest czas przeszły (i fakt, że o tym wiesz). Takie zdarzenie jest pewne, a więc niezależne od dowolnego innego zdarzenia (w tej samej przestrzeni, ale pomińmy takie formalizmy). Wobec tego zostaje jeden as na trzy karty, dobranie kolejnego to 1/3.

Natomiast jest jedno słowo klucz, które umieściłeś w swoich zagadnieniach, a które prowadzi właśnie do intuicyjnego wyniku z równym prawdopodobieństwem. To słowo to 'pierwszą'.

Dalej

Kluczem jest zrozumienie treści zadania i tego co chcemy policzyć a nie samego sposobu wyliczenia prawdopodobienstwa (które jest dość łatwe ).

Błędne rozumowanie wynika z tego że rozpatrujesz zadanie w taki sposób: otrzymales asa/asa pik jako pierwszą kartę, jakie jest prawdopodobieństwo ze otrzymasz drugiego. A wtedy są to zdarzenia niezależne.

Należy popatrzeć na zadanie w taki sposób: jakie jest prawdopodobieństwo że otrzymasz asa jako drugą kartę jeżeli pierwszą kartą jaką dostaniesz będzie as/as pik. I wtedy wjeżdża prawdopodobieństwo warunkowe i zmienia postać rzeczy bo warunek do spelnienia (otrzymanie asa albo otrzymanie konkretnego asa pik) ma inną szansę na zaistnienie

Ale faktycznie bardzo fajny przykład, który mocno wymyka się intuicji.

Do podkreślonej części odnosiłem się wcześniej, to nie jest clou sprawy. Faktycznie istotne jest zrozumienie treści, natomiast pogrubiona interpretacja nie prowadzi do wyników podanych przez Michała

Sednem jest właśnie kwestia czy rozpatrujemy kolejność kart. W przykładzie Michała tego nie robimy, myślimy zatem o zbiorze kart. Inne sformułowanie - jakie jest prawdopodobieństwo, że w zbiorze dwóch dobranych kart będę miał dwa asy, jeżeli w tym zbiorze dobiorę asa/asa pik? Większość osób zinterpretowała to jednak jako parę uporządkowaną, wówczas sformułowanie - jakie jest prawdopodobieństwo, że dobiorę asa jako drugą kartę, jeżeli jako pierwszą dobiorę asa/asa pik?

W sytuacji pierwszej używamy zatem kombinacji, w drugiej wariacji. W pierwszej wyniki to 1/5 i 1/3, w drugiej 1/3 i 1/3 (można wypisać sobie wszystkie 12 wariacji i policzyć przypadki). Nie ma znaczenia czy mówimy o swoich czy cudzych kartach, liczy się co wiemy, co się wydarzyło i jak rozpatrujemy sytuację.