Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[Super]

Oczywiście masz rację jeśli chodzi o kolejność dobieranych kart. Zastosowany przeze mnie zabieg miał tylko na celu łatwiejsze sformułowanie kwestii związanej z zależnością zdarzeń. Bo z toku dyskusji zdawało się że właśnie to jest dla wielu problemem trudnym do zrozumienia. Nie chciałem natomiast wskazywać na kolejność dobieranych kart.

No ale rozmawiając o matematyce trzeba być dokładnym bo faktycznie zmienilem w ten sposób treść zadania

[MichalStajszczak]

Myślę, że pora na podsumowanie dyskusji na temat dwóch asów.
Gdy przeczytałem w książce "GameTek", że w pierwszym przypadku jest 37%, a w drugim 56% też mnie to w pierwszej chwili zaskoczyło. Oczywiście nie miałem podstaw by uważać to za błąd - książka jest tekstowym przedstawieniem podcastów z Dice Tower, więc gdyby to nie była prawda, autor dawno by się o tym dowiedział. Ale kierując się zasadą "kontrola najwyższą formą zaufania" (autor nie przedstawił szczegółowych obliczeń, tylko te dwie liczby) wziąłem do ręki kalkulator i po kilku minutach miałem pewność, że wyniki są poprawne. Pomyślałem, że taki paradoks może zainteresować również innych użytkowników forum i stąd mój wpis. Założyłem jednak, że może ktoś będzie chciał sam dojść do tych rezultatów, więc wyniki obliczeń umieściłem w spoilerze.
Szczerze mówiąc zaskoczyło mnie to, że mój wpis wywołał dyskusję. Spodziewałem się raczej komentarzy w stylu "fajna ciekawostka" albo "triumf wiedzy nad zdrowym rozsądkiem". A tu nagle pojawiły się wyłącznie komentarze podważające przedstawione wyniki. Co ciekawe, nikt nie zakwestionował przedstawionych przeze mnie obliczeń, a przecież najprostszą metodą obalenia byłoby wykazanie błędów w tych obliczeniach. (Nawiasem mówiąc pewna nieścisłość w tych obliczeniach była. W pierwszym przypadku dla uproszczenia ograniczyłem liczby do trzech cyfr znaczących, a wynik podałem z dokładnością do czterech cyfr - przy dokładnym obliczeniu zamiast 36,88% powinno być 36,96% ale to oczywiście nie zmienia faktu, że jest to prawie 37%.)
Myślę, że głównym powodem wątpliwości u wielu osób było niezrozumienie tego, jak działa prawdopodobieństwo warunkowe. Generalnie prawdopodobieństwo A pod warunkiem B jest ilorazem dwóch prawdopodobieństw: w liczniku mamy prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B, a w mianowniku prawdopodobieństwo zdarzenia B. Akurat w obu rozpatrywanych przypadkach zdarzenie A zawiera się w zdarzeniu B (po to, by mieć co najmniej dwa asy, trzeba mieć co najmniej jednego), więc w liczniku mamy po prostu prawdopodobieństwo zdarzenia A. Popatrzmy więc, jak w obu przypadkach wyglądają te prawdopodobieństwa:
Przypadek 1
Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednego asa wynosi 69,62% (co może być zaskoczeniem dla malkontentów, którzy uważają, że rzadko kiedy jakiś as im się trafia).
Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej dwóch asów wynosi 25,73% (czyli też wcale nie jest takie małe, jak zapewne niektórzy podejrzewali).
Iloraz 25,73% przez 69,62% to niespełna 37%.
Przypadek 2
Prawdopodobieństwo otrzymania asa pik to oczywiście 25% (jest czterech graczy, każdy ma takie same szanse na tego asa, więc każdemu przypada po 1/4).
Prawdopodobieństwo zdarzenia, że oprócz asa pik gracz ma jeszcze co najmniej jednego innego asa, to 14,03%.
Iloraz 14,03% przez 25% to trochę ponad 56%.
Jak widać, w drugim przypadku prawdopodobieństwo otrzymania dwóch lub więcej asów jest prawie dwa razy mniejsze niż w pierwszym ale mianownik jest mniejszy jeszcze bardziej i dlatego iloraz w drugim przypadku jest większy.
Przypuszczam, że większość dyskutantów skoncentrowało się bardziej na tym, co było w liczniku i tej istotnej zmiany mianownika mogli nie wziąć pod uwagę. Trafna jest zatem analogia do "rozpuszczalnika".

[BartP]

Michale, ja rozumiem wzór. Co więcej, rozumiem banalny przykład na dwóch asach i dwóch królach, do którego policzenia niepotrzebny jest wzór. Powiem tak: prawdopodobieństwa warunkowego nie trzeba wyliczać za wzoru. Czasami można na okrętkę, "na pałę", jak zwał tak zwał.

Przykład:
Mamy urnę z 4 białymi kulami i 4 czarnymi kulami. Jakie jest pr-o, że wyciągnę czarną kulę za drugim razem, pod warunkiem, że za pierwszym razem wziąłem białą.

Ok, można lecieć ze wzoru.
A - wzięcie kuli białej
B - wzięcie kuli czarnej
P(A iloczyn B) = 1/2 * 4/7
P(B) = 1/2
P(B|A) = (1/2 * 4/7) / 1/2 = 4/7

Ale jak dla mnie można po prostu założyć, że kula biała została wzięta. Sru, nie ma jej, to się wydarzyło. Mamy zatem 7 kul, z czego 4 są czarne. Jakie jest pr-o wzięcia czarnej? No 4/7. Koniec zadania.

Można sobie drzewka rysować, cokolwiek kto lubi. I tak, wzór rozumiem. I zgodzę się, że jest to "triumf wiedzy nad zdrowym rozsądkiem", bo nadal nie rozumiem, czemu tak jest.

Pisałem to wcześniej, ale powtórzę, może ktoś mi to wytłumaczy, naprawdę będę niezmiernie wdzięczny, bo wtedy będę odrobinę mądrzejszy.

Przede wszystkim: czy ta sytuacja jest analogiczna? Czy mogę w ogóle stosować tu pr-o warunkowe?
Mamy banalny scenariusz z dwoma asami (pik i kier) i dwoma królami. Gracz bierze dwie karty na rękę. I mówi mi, że ma asa.
1. Czy ja powinienem w tym momencie pomyśleć, że jest pr-o 1/5, że ma drugiego asa?
2. Czy jak doda "tak dokładniej, to asa pik", to powinienem stwierdzić, że jednak pr-o wynosi 1/3?
3. Skoro tak na dobrą sprawę musi mieć asa pik lub asa kier, i pr-o kolejnego asa będzie albo 1/3 albo 1/3, to czemu nie można od razu odpowiedzieć na pytanie 1, że pr-o jest 1/3 ?

I naprawdę, ja widzę jak na dłoni te rozrysowane przypadki. I widzę jak w mordę strzelił tę 1/3 i 1/5. Ale nie spina mi się to w mózgu. Gdyby to była gra hazardowa, to jakie powinienem przyjąć pr-o w wyżej opisanym scenariuszu?

[MichalStajszczak]

Mamy banalny scenariusz z dwoma asami (pik i kier) i dwoma królami. Gracz bierze dwie karty na rękę. I mówi mi, że ma asa.
1. Czy ja powinienem w tym momencie pomyśleć, że jest pr-o 1/5, że ma drugiego asa?

Tak. Z sześciu układów, jakie mogą powstać przy wylosowaniu dwóch kart z czterech, pięć jest takich, że gracz ma asa (tylko układ król pik + król kier tego warunku nie spełnia). Ale z tych pięciu przypadków jest tylko jeden taki, w którym gracz ma dwa asy. A zatem prawdopodobieństwo jest 1/5.

2. Czy jak doda "tak dokładniej, to asa pik", to powinienem stwierdzić, że jednak pr-o wynosi 1/3?

Tak. Teraz wiemy, że zachodzi jeden z trzech przypadków. Gracz ma asa pik oraz albo asa kier albo króla pik albo króla kier. I również teraz tylko jeden z tych przypadków to dwa asy. Prawdopodobieństwo = 1/3. Oczywiście taka sama sytuacja jest w przypadku, gdy jest to as kier.

3. Skoro tak na dobrą sprawę musi mieć asa pik lub asa kier, i pr-o kolejnego asa będzie albo 1/3 albo 1/3, to czemu nie można od razu odpowiedzieć na pytanie 1, że pr-o jest 1/3 ?

Nie można. Nie wiedząc, który jest to konkretnie as, mamy pięć możliwych układów, a nie trzy. Dodanie informacji o tym, że ten as jest pikowy wyklucza dwa układy: "as kier + król pik" oraz "as kier + król kier". Poprzez wykluczenie dwóch przypadków "roztwór się zagęszcza" tzn. przy niezmienionym liczniku zmniejsza się mianownik i przez to wartość ułamka rośnie.

[mirukan]

Nie można. Nie wiedząc, który jest to konkretnie as, mamy pięć możliwych układów, a nie trzy. Dodanie informacji o tym, że ten as jest pikowy wyklucza dwa układy: "as kier + król pik" oraz "as kier + król kier". Poprzez wykluczenie dwóch przypadków "roztwór się zagęszcza" tzn. przy niezmienionym liczniku zmniejsza się mianownik i przez to wartość ułamka rośnie.

Niestety posiadanie jakiegokolwiek asa też zmniejsza "roztwór o dwa przypadki bo jak sam słusznie zauważyłeś jest to albo as pik albo as kier dlatego przy czterech kartach zawszy gdy ktoś posiada jedną określoną to prawdopodobieństwo że ma i drugą będzie jak jeden do trzech. Łatwiej zrozumieć to abstrakcyjne matematyczne myślenie gdy rozpatrzymy to na dwóch zbiorach czyli zbiór asów szt. dwie i zbiór króli szt. dwie.
Cały myk jakim posłużył się Michał jest niezbędny przy kreatywnej księgowości
Co do pytania o gry hazardowe to jest prawda jeżeli chodzi o oczko czy black-jecka . Przy pokerze itp. należy jeszcze dodać kombinację ze znaczeniem kolorów kart.
Prawie byłem pewien że tu:

Gdyby to była gra hazardowa, to jakie powinienem przyjąć pr-o w wyżej opisanym scenariuszu?

Jest "pies pogrzebany
Po prostu napisz o jakę grę chodzi czy o taką gdzie kolor nie ma znaczenia bo liczą się tylko punkty czy może taką gdzie liczą się kolory i układy kolorów lub kart (np poker).

[MichalStajszczak]

Niestety posiadanie jakiegokolwiek asa też zmniejsza roztwór o dwa przypadki bo jak sam słusznie zauważyłeś jest to albo as pik albo as kier

Chyba źle zrozumiałeś. Mamy 6 możliwych przypadków - układów dwóch kart z czterech:
- Zdanie "gracz ma asa pik" jest prawdziwe w trzech przypadkach.
- Zdanie "gracz ma asa kier" jest prawdziwe w trzech przypadkach.
- Zdanie "gracz ma jakiegoś (nie wiadomo jakiego) asa" jest prawdziwe w pięciu przypadkach.
Jak widać dopiero "doprecyzowanie" poprzez podanie koloru asa zmniejsza liczbę z pięciu do trzech.

[mirukan]

Niestety posiadanie jakiegokolwiek asa też zmniejsza roztwór o dwa przypadki bo jak sam słusznie zauważyłeś jest to albo as pik albo as kier

Chyba źle zrozumiałeś. Mamy 6 możliwych przypadków - układów dwóch kart z czterech:
- Zdanie "gracz ma asa pik" jest prawdziwe w trzech przypadkach.
- Zdanie "gracz ma asa kier" jest prawdziwe w trzech przypadkach.
- Zdanie "gracz ma jakiegoś (nie wiadomo jakiego) asa" jest prawdziwe w pięciu przypadkach.
Jak widać dopiero "doprecyzowanie" poprzez podanie koloru asa zmniejsza liczbę z pięciu do trzech.

Nie nie zrozumiałem "źle" bo gracz ma albo takiego albo takiego . Dalej prawdopodobieństwo jest jak 1 do 3 .Chyba że istnieją asy o nie oznaczonym kolorze .

Mamy 6 możliwych przypadków - układów dwóch kart z czterech

A to już jest manipulacja bo dwie z czterech kart oznaczasz "AS" czyli gdy jedna już nie należy do zbioru bo jest u gracza ....... ? czyli zbiór 3 kart z których jedna jest oznaczona "AS" a dwie "król" czyli dwa zbiory które należą do wspólnego zbioru itd.
Coś mam wrażenie że doskonale się bawisz

[MichalStajszczak]

Chyba że istnieją asy o nie oznaczonym kolorze

Tak właśnie w tym przypadku jest . Dopóki nie wiadomo, czy jest to as pikowy czy kierowy, jest to faktycznie "as nieoznaczonego koloru".

A to już jest manipulacja bo dwie z czterech kart oznaczasz "AS" czyli gdy jedna już nie należy do zbioru bo jest u gracza ....... ?

Tylko w drugim przypadku jest to prawda, bo wiadomo, że as pikowy jest u gracza. Natomiast w pierwszym przypadku wiemy tylko, że jest to as, ale nie wiemy, który z dwóch możliwych.

Coś mam wrażenie że doskonale się bawisz

Niestety coraz mniej zabawne jest wyjaśnianie rzeczy, które dla każdego powinny być oczywiste, a jak widać, mimo moich wysiłków, nie są.

[mirukan]

Dopóki nie wiadomo, czy jest to as pikowy czy kierowy, jest to faktycznie "as nieoznaczonego koloru".

Powtórzę WIADOMO bo jest to AS albo pikowy albo kierowy.
Dobrze ja mam dosyć . Mógłbym wyprowadzić wzór ale obawiam się że dalej będzie manipulacja danymi które powinny być stałe

Gdyby zamiast asów asów były dwa dżokery to gdyby gracz nie oświadczył że ma dżokera to faktycznie prawdopodobieństwo że ma było by jak 2 do 4 skracając 1 do 2 czyli 50% do 50% . jeśli gracz oświadczy że ma jednego dżokera to prawdopodobieństwo że ma kolejnego zmieni się na 1 do 3 czyli zaokrąglając po przecinku 33,3..... % do 66,6.....%. Upraszczając ma tylko jedną możliwość na trzy że gracz ma kolejnego dżokera.

[Niewodnik]

Powtórzę WIADOMO bo jest to AS albo pikowy albo kierowy.

Mirukan jest po prostu magikiem scenicznym. Podaje talię kart widzowi, ten wybiera jedną z nich, mirukan robi hokus pokus, czary mary i mówi:

"HA, A JA WIEM JAKA TO KARTA!!!"

Tłum zszokowany. Jak to? Przecież nawet nie miał okazji się dowiedzieć.

A mirukan mówi: Ja wiem, bo to albo 2 pik, albo 2 kier, albo 2 karo, albo 2 trefl, albo 3 pik, albo ...

[MichalStajszczak]

WIADOMO bo jest to AS albo pikowy albo kierowy.

Ale nie wiadomo, KTÓRY KONKRETNIE.

Mógłbym wyprowadzić wzór

No to wyprowadź. Może ja wreszcie będę miał powód, żeby się pośmiać.

Gdyby zamiast asów asów były dwa dżokery to gdyby gracz nie oświadczył że ma dżokera to faktycznie prawdopodobieństwo że ma było by jak 2 do 4 skracając 1 do 2 czyli 50% do 50% . jeśli gracz oświadczy że ma jednego dżokera to prawdopodobieństwo że ma kolejnego zmieni się na 1 do 3 czyli zaokrąglając po przecinku 33,3..... % do 66,6.....%. Upraszczając ma tylko jedną możliwość na trzy że gracz ma kolejnego dżokera.

Gdyby zamiast dwóch rozróżnialnych asów były dwa nierozróżnialne dżokery, to mielibyśmy następujące możliwości:
- z prawdopodobieństwem 1/6 gracz ma dwa dżokery
- z prawdopodobieństwem 1/6 gracz ma dwa króle
- z prawdopodobieństwem 2/6 czyli 1/3 gracz ma dżokera i króla pik (bo może mieć króla pik i jednego z dwóch dżokerów)
- z prawdopodobieństwem 2/6 czyli 1/3 gracz ma dżokera i króla kier (jw z królem kier)
Czyli mamy 5/6 szans na układ z przynajmniej jednym dżokerem. I 1/6 na dwa dżokery. Bo teraz rolę "asa nieznanego koloru" przyjmuje dżoker.

[mirukan]

z prawdopodobieństwem 2/6 czyli 1/3 gracz ma dżokera i króla pik (bo może mieć króla pik i jednego z dwóch dżokerów)
- z prawdopodobieństwem 2/6 czyli 1/3 gracz ma dżokera i króla kier (jw z królem kier)

Wreszcie

z prawdopodobieństwem 1/6 gracz ma dwa dżokery
- z prawdopodobieństwem 1/6 gracz ma dwa króle

I kolejna "oczywistość"
Wprowadzona dla "zmyłki" a nie ujęta w początkowym pytaniu" .

No to wyprowadź. Może ja wreszcie będę miał powód, żeby się pośmiać.

Ale po co psuć "zabawę"
Nie wiem jak dziś ale za moich czasów to wiedza (umiejętność) na poziomie chyba 5 klasy SP.

[PytonZCatanu]

Przykład z asem blow my mind. Przeczytałem ten wątek wczoraj i potrzebowałem 24h na przyswojenie

[BartP]

Mój mózg jest wciąż wygięty. Już dawno zaakceptowałem, że w tym wypadku moja przynajmniej intuicja wysiada. Dzisiaj dla pewności napisałem sobie programik, co tę rękę z talii dwóch asów i dwóch króli rozdaje i pyta o te asy. No, "niestety" matematyka nie kłamie, program potwierdza. W zasadzie nie wiem, czego się spodziewałem .

[KOSHI]

Zostawmy już może te asy w spokoju. Proponuję takie zadanie: W grze Nemesis dociąga się karty skażenia, które mają ukryty napis ZARAŻENIE bądź inny, podobny. Kart ZARAŻENIE jest w talii 7 a pozostałych z innymi napisami 20. Interesuje mnie prawdopodobieństwo, że postać przeżyje posiadając takich kart (obojętne z jakim napisem i w jakich proporcjach) odpowiednio 1, 2, 3... w swojej talii. Poniżej wypis z instrukcji procedury skanowania z końca gry, gdy ktoś nie znał lub nie pamietał:

Każda żywa postać (zahibernowana w Hibernatorium albo ewakuowana w kapsule ratunkowej) sprawdza swoje karty skażenia.

A) Gracz sprawdza za pomocą skanera wszystkie karty w swoim stosie kart akcji, stosie kart odrzuconych i na ręce.
B) Jeśli chociaż 1 karta wskazuje ZARAŻENIE lub na planszy postaci jest larwa, gracz tasuje wszystkie swoje karty akcji i skażenia i tworzy z nich nowy stos. Następnie dobiera z niego 4 wierzchnie karty. Jeśli wśród nich jest co najmniej 1 karta skażenia (ZARAŻONA bądź nie), postać umiera. Jeśli takiej karty nie ma, postać ma szczęście i przeżywa

Dodam, że kart akcji mamy 10 niezależnie od klasy postaci. Dla uproszczenia przyjmijmy, że larwy nie ma na planszy bohatera chyba, że jest ktoś w stanie to uwzględnić. Próbowałem to liczyć, ale mi się zwoje przegrzały...

[Beo]

Tak na szybko i założeniem wskazanych przez ciebie liczności kart. Interesuje nas prawdopodobieństwo, że postać przeżyje, pod warunkiem, że ma n kart skażenia. Powiedzmy, że choose(x, y) oznacza współczynnik dwumianowy (liczbę kombinacji y-elementowych zbioru x-elementowego).

Prawdopodobieństwo dobrania przynajmniej jednej karty zarażenia (A) to
1 - choose(20, n) / choose(27, n), n <= 27,
gdzie korzystamy ze zdarzenia przeciwnego, że nie dobierzemy żadnej.

Następnie prawdopodobieństwo śmierci, pod warunkiem dobierania tych 4 kart (B) to
1 - choose(10, 4) / choose(10 + n, 4).

Finalnie prawdopodobieństwo przeżycia to
1 - P(A) * P(B) = 1 - (1 - choose(20, n) / choose(27, n)) * (1 - choose(10, 4) / choose(10 + n, 4)), n <= 27.

Wartości dla pierwszych kilku n (od 0 do 5): 100.00%, 90.57%, 73.59%, 56.90%, 42.79%, 31.63%. Wzory można przekleić sobie np. do Wolframa.

[MichalStajszczak]

Nie znam zasad gry ale wydaje mi się, że model przedstawiony przez Beo jest zbytnio uproszczony. Moim zdaniem trzeba uwzględnić dwa parametry:
- liczbę kart skażenia, które pobrał gracz - niech będzie, że to n
- liczbę kart z symbolem ZARAŻENIE wśród tych kart
Z modelu Beo wynika, że m=n a to bardzo rzadko jest zgodne z prawdą (zwykle m<n).
Możemy mieć następujące sytuacje:
- n=0 - nie ma potrzeby skanować nawet jak jest larwa, bo na pewno nie ma kart z symbolem ZARAŻENIE i postać na pewno przeżyje
- n>0 ale ze skanowania wynika m=0 i nie ma larwy - nie tasuje się kart - postać przeżyje
- n>0, m=0 i jest larwa - trzeba testować
- n>0 i m>0 - niezależnie od tego, czy jest larwa czy nie testować trzeba
Jeżeli moja interpretacja jest zgodna z zasadami gry, to w modelu Beo trzeba wprowadzić zmianę: we wzorze na P(A) powinno być m a nie n i mamy w rezultacie wzór z dwoma parametrami, przy czym m nie może być większe od n. I ewentualnie dodać trzeci parametr "boolowski" - jest larwa czy jej nie ma.

Edit: Moja interpretacja zasad gry jest błędna i metoda Beo jest prawidłowa.

[Kisun]

A ja chciałbym wrócić do asów. Jeżeli dla kogoś to nadal trudne do przyswojenia. Czemu ujawnienie koloru jednego asa sprawia, że zmienia się prawdopodobieństwo? Otóż znając konkretny kolor asa "pozbywamy się" tych potencjalnych rozdań (zestawów kart), które mają asy w pozostałych kolorach, a jednocześnie nie mają asa którego kolor znamy. Dzięki temu zmniejszyła się ilość zestawów spełniających wymagania zadania tj. mających dwa asy, w tym jeden o którym już wiemy.
Najłatwiej to zrozumieć rozpisując sobie wszystkie możliwe do uzyskania pary z puli 2asów i 2 królów. Odrzucając parę król-król zostaje nam pięć możliwych par z jakimś asem, a tylko jedna z nich to para as-as czyli nie znając koloru asa mamy 1/5 szansy na trafienie dwóch asów. Znając jaki to as nie musimy już brać pod uwagę dwóch par: drugi as-pierwszy król oraz drugi as-drugi król (bo ich na pewno nie będzie w naszej ręce - bo przecież w tych parach nie ma naszego asa). Czyli zostają nam trzy układy kart jakie są możliwe na ręce. Czyli szansa trafienia pary zwiększa się do 1/3. Ot cała magia.

[MichalStajszczak]

A ja chciałbym wrócić do asów.

Spoiler:

Jeżeli dla kogoś to nadal trudne do przyswojenia. Czemu ujawnienie koloru jednego asa sprawia, że zmienia się prawdopodobieństwo? Otwórz, znając konkretny kolor asa "pozbywamy się" tych potencjalnych rozdań (zestawów kart), które mają asy w pozostałych kolorach, a jednocześnie nie mają asa którego kolor znamy. Dzięki temu zmniejszyła się ilość zestawów spełniających wymagania zadania tj. mających dwa asy, w tym jeden o którym już wiemy.
Najłatwiej to zrozumieć rozpisując sobie wszystkie możliwe do uzyskania pary z puli 2asów i 2 królów. Odrzucając parę król-król zostaje nam pięć możliwych par z jakimś asem, a tylko jedna z nich to para as-as czyli nie znając koloru asa mamy 1/5 szansy na trafienie dwóch asów. Znając jaki to as nie musimy już brać pod uwagę dwóch par: drugi as-pierwszy król oraz drugi as-drugi król (bo ich na pewno nie będzie w naszej ręce - bo przecież w tych parach nie ma naszego asa). Czyli zostają nam trzy układy kart jakie są możliwe na ręce. Czyli szansa trafienia pary zwiększa się do 1/3. Ot cała magia.

Jak przejrzysz moje posty, to zobaczysz, że ja to wszystko zrobiłem, łącznie z tym rozpisaniem wszystkich możliwych par kart. Ale i tak chyba są tacy, których nie dało się przekonać.

[Beo]

Nie znam zasad gry ale wydaje mi się, że...

To chyba od tego się powinno zacząć, prawda?

Nie ma to znaczenia czy w dobranych kartach skażenia jest jedna, dwie czy trzy karty z zarażeniem, przynajmniej jedna odpala procedurę finalnego testu, gdzie liczy się już tylko czy wybrane karty są kartami akcji czy skażenia. Ja nie brałem larwy pod uwagę, ale uwzględnienie jest proste - jeżeli ktoś posiada larwę, to w miejsce P(A) należy wstawić 1.

Innymi słowy, P(A) - prawdopodobieństwo, że dojdzie do testu, P(B) - prawdopodobieństwo, że podczas tego testu się umrze.

[mirukan]

A ja chciałbym wrócić do asów. Jeżeli dla kogoś to nadal trudne do przyswojenia. Czemu ujawnienie koloru jednego asa sprawia, że zmienia się prawdopodobieństwo? Otóż znając konkretny kolor asa "pozbywamy się" tych potencjalnych rozdań (zestawów kart), które mają asy w pozostałych kolorach, a jednocześnie nie mają asa którego kolor znamy. Dzięki temu zmniejszyła się ilość zestawów spełniających wymagania zadania tj. mających dwa asy, w tym jeden o którym już wiemy.
Najłatwiej to zrozumieć rozpisując sobie wszystkie możliwe do uzyskania pary z puli 2asów i 2 królów. Odrzucając parę król-król zostaje nam pięć możliwych par z jakimś asem, a tylko jedna z nich to para as-as czyli nie znając koloru asa mamy 1/5 szansy na trafienie dwóch asów. Znając jaki to as nie musimy już brać pod uwagę dwóch par: drugi as-pierwszy król oraz drugi as-drugi król (bo ich na pewno nie będzie w naszej ręce - bo przecież w tych parach nie ma naszego asa). Czyli zostają nam trzy układy kart jakie są możliwe na ręce. Czyli szansa trafienia pary zwiększa się do 1/3. Ot cała magia.

Właściwie czemu w "danych" zamiast Asy- Króle nie napisać normalnie jak w matematyce xx-yy ? To chyba równanie z podstawówki a działanie na zbiorach chyba też Może tak niektórzy zrozumieją jak bawią się niektórzy słowami i manipulacją
Dobrze że dziś sobota to sprzedawcy w sklepach się nie nudzą j możemy ciut odpocząć .

[MichalStajszczak]

Właściwie czemu w "danych" zamiast Asy- Króle nie napisać normalnie jak w matematyce xx-yy ?

Trzeba by zapisać x1-x2-y1-y2, bo zarówno asy jak i króle są rozróżnialne. Problem polegał właśnie na tym, że mamy inną sytuację, gdy wiemy tylko, że jedną z kart jest as (ale nie wiemy który) i wtedy mamy x bez cyfry, a inną, gdy kolor asa jest znany, czyli wiemy, że to jest np. konkretnie x1.

[mirukan]

bo zarówno asy jak i króle są rozróżnialne

Jeszcze Ci się nie znudziło ?
Pierwotne pytanie było : jaka jest szansa na drugiego Asa . Dodanie koloru mąci tylko obraz sytuacji . Podobnie jek dwa posty wyżej stwierdzenie że jest tylko jeden układ na sześć w przy czterech kartach gdy jeden z graczy ma dwa asy . Ot gra słów i manipulacja . Chyba że są to cztery różne karty co ma sugerować stwierdzenie "konkretnie asa pik" i najprościej jak można zapisać : karta X która jest asem pi,. karta Y która jest asem kier,
karta A która jest królem pik i karta B która jest królem kier. Jednak przy tak postawionym pytaniu kompletnie kolor asów nie ma znaczenia .Bo szukamy układu dwóch asów i bez znaczenia jaka jest ich kolejność zapisu XY czy YX. Amen. Pewnie gracze przedszkolni już zrozumieli ale zawsze możesz bawić się dalej

[MichalStajszczak]

Jeszcze Ci się nie znudziło ?

W sumie to powinno mi się znudzić ale widzę, że liczba osób, które nie zrozumiały tego zagadnienia jest wciąż większa od zera (choć być może jest to liczba 1).

Dodanie koloru mąci tylko obraz sytuacji .

Nie mąci tylko w tym przypadku DOPRECYZOWUJE.

Chyba że są to cztery różne karty

Tak - cztery różne karty: as pik, as kier, król pik i król kier

bez znaczenia jaka jest ich kolejność zapisu XY czy YX

Oczywiście nie ma różnicy między XY a YX, bo rozpatrujemy kombinacje. Ale różnicę robi, czy wylosowany został jeden z układów XY, XA lub XB (bo tylko te trzy zawierają X czyli asa pik), czy może YA lub YB (bo są to układy, w których as jest ale NIE JEST to as pikowy).

Pewnie gracze przedszkolni już zrozumieli

Czyli ci, którzy dotąd zrozumieć nie są w stanie, powinni być skierowani do żłobka?

[mirukan]

Czyli ci, którzy dotąd zrozumieć nie są w stanie, powinni być skierowani do żłobka?

Może nie tak drastycznie Wystarczy jak przestaną kombinować z grami hazardowymi bo może się to dla ich niezbyt dobrze dla kieszeni skończyć