Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[Niewodnik]

Myślę Michał możesz już przestać, bo prawdopodobieństwo zrozumienia przez tego jednego konkretnego bobasa może być przedstawione wyrażeniem lim -> 0

[Miszon]

Skoro wątek matematyczny został odkopany, to podam odpowiedź na pytanie, które w kwietniu ubiegłego roku zadał dannte

Kart jest 55, choć powinno być tyle, co symboli czyli 57. Jak chcesz się dowiedzieć więcej na temat matematyki w Dobble, to możesz przeczytać mój artykuł albo bardziej naukowy tekst z miesięcznika Delta

Dzięki, poczytam w wolnej chwili. Nie wiem czy ten temat jest poruszany, ale mnie nawet nie chodziło o samą matematykę ukrytą za liczbami, co raczej o fakt, że ktoś wpadł na taki pomysł! Ja, gdybym chciał zamknąć 8 symboli per karta, gdzie każde dwie karty mają 1 wspólny symbol (czyli już przy dwóch kartach potrzebuję 15 różnych symboli!) - pomyślałbym natychmiast, że liczba kart rosłaby wykładniczo, a liczba unikatowych symboli musiałaby być nieskończona - i pewnie bym zdusił pomysł w zarodku, i dlatego jest dla mnie magicznym to, że ktoś spróbował i się udało zrobić to w zgrabnym pakiecie. Często lubię rozwiązywać zagadki matematyczne/programistyczne i w większości tych błyskotliwszych zagadek rozwiązania są proste - ale żeby wpaść na nie, to trzeba się mocno nagłówkować. A co dopiero wpaść na pomysł, że coś takiego jest możliwe i wymyślić na ten temat zagadkę! To jest dla mnie fascynujące.

czyli "jak wpadnięto na pomysł", na podstawie którego powstała gra Dobble.
Otóż okazuje się, że pierwowzorem był Kirkman's Schoolgirls Problem czyli zagadnienie matematyczne, które postawił i rozwiązał w 1850 roku wielebny Thomas Kirkman. Chodziło z grubsza o to, że 15 dziewczynek spacerowało trójkami przez 7 kolejnych dni i każdego dnia każda była w trójce z dwiema innymi. Zagadnienie Kirkmana znalazło zastosowanie w statystyce matematycznej, a także w korekcji błędów przy przesyłaniu sygnałów. Zainteresowało to w 1976 młodego entuzjastę matematyki Jacquesa Cottereau, który uznał, że można zrobić z tego karciankę o insektach. I taka samoróbka karcianki, w której było 31 kart każda z 6 symbolami (jak obecnie w Dobble Junior) leżała u niego w szufladzie przez 30 lat. W 2009 roku spokrewniony z Cottereau dziennikarz i twórca gier Denis Blanchot zainteresował się pomysłem i w ten sposób powstała gra Dobble.
Więcej na ten temat można przeczytać w tym artykule.

Ta historia jest też w pudełku z Dobble (są nawet te karty owadów pokazane jak wyglądały).

[Propi]

Zwierzęcy Front.

18 unikatowych kart, obaj gracze dociągają po 6 na rękę, 6 nie bierze udziału w grze. Kolejność nie ma znaczenia.

Kombinacja bez powtórzeń.

18564 możliwe kombinacje na ręce gracza, dobrze liczę?

[MichalStajszczak]

Zwierzęcy Front.

18 unikatowych kart, obaj gracze dociągają po 6 na rękę, 6 nie bierze udziału w grze. Kolejność nie ma znaczenia.

Kombinacja bez powtórzeń.

18564 możliwe kombinacje na ręce gracza, dobrze liczę?

Dobrze.
Możesz jeszcze policzyć ile jest różnych układów na rękach obu graczy. Nie jest to 18564 do kwadratu czyli 344,622,096 tylko 18C6 * 12C6 czyli 17,153,136 ponieważ drugi gracz wybiera 6 z pozostałych 12 kart a nie z wszystkich 18.

[Propi]

Zwierzęcy Front.

18 unikatowych kart, obaj gracze dociągają po 6 na rękę, 6 nie bierze udziału w grze. Kolejność nie ma znaczenia.

Kombinacja bez powtórzeń.

18564 możliwe kombinacje na ręce gracza, dobrze liczę?

Dobrze.
Możesz jeszcze policzyć ile jest różnych układów na rękach obu graczy. Nie jest to 18564 do kwadratu czyli 344,622,096 tylko 18C6 * 12C6 czyli 17,153,136 ponieważ drugi gracz wybiera 6 z pozostałych 12 kart a nie z wszystkich 18.

Czyli coś powoli zaczynam kumać

Stanąłem na tym. Mam 6 kart na ręce - mogę je zagrać na 720 sposobów, jeśli chodzi o kolejność (wariacje bez powtórzeń).

Jak na tę liczbę wpływa fakt, że każdą kartę mogę zagrać też rewersem, a wszystkie rewersy są takie same (każda karta jest wtedy warta 2 punkty)?

[MichalStajszczak]

Mam 6 kart na ręce - mogę je zagrać na 720 sposobów, jeśli chodzi o kolejność (wariacje bez powtórzeń).

Jak na tę liczbę wpływa fakt, że każdą kartę mogę zagrać też rewersem, a wszystkie rewersy są takie same (każda karta jest wtedy warta 2 punkty)?

Jeżeli masz do zagrania 6 kart w dowolnej kolejności, to jest to 6!=720 permutacji (wariacje byłyby wtedy, gdybyś wybierał k kart spośród zbioru n kart, przy czym n>k i ważna byłaby kolejność ich wybierania).
jeżeli każdą kartę możesz zagrać na dwa sposoby, to mamy 720 * 2^6 czyli 46,080 sposobów.

[Propi]

Mam 6 kart na ręce - mogę je zagrać na 720 sposobów, jeśli chodzi o kolejność (wariacje bez powtórzeń).

Jak na tę liczbę wpływa fakt, że każdą kartę mogę zagrać też rewersem, a wszystkie rewersy są takie same (każda karta jest wtedy warta 2 punkty)?

Jeżeli masz do zagrania 6 kart w dowolnej kolejności, to jest to 6!=720 permutacji (wariacje byłyby wtedy, gdybyś wybierał k kart spośród zbioru n kart, przy czym n>k i ważna byłaby kolejność ich wybierania).
jeżeli każdą kartę możesz zagrać na dwa sposoby, to mamy 720 * 2^6 czyli 46,080 sposobów.

Jestem pod niesłabnącym wrażeniem Twoich umiejętności matematycznych - równie silne jest u mnie wrażenie, że w moim mózgu jest po prostu jeden mięsień mniej

Bardzo dziękuję za pomoc, moja recenzja zamienia się trochę w tabelkę excelowską, ale udowodniliśmy dzięki temu, że w 18 kartach pojawia się prawdziwy ogrom scenariuszy do rozważenia

[sliff]

Jutro matura z matematyki na poziomie rozszerzonym więc może ktoś potrzebuje sprawdzić swoje umiejętności rozwiązywania zadań probabilistycznych. Może to zrobić na przykładzie ciekawostki, pochodzącej z książki GameTek (czyli zapewne wcześniej przedstawionej w ramach Dice Tower), a dotyczącej gry w brydża. W brydżowym rozdaniu każdy gracz otrzymuje na początek 13 kart. Mamy dwa bardzo podobne zagadnienia:
1. Wiadomo, że gracz X ma asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Wiadomo, że gracz X ma asa pik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma jeszcze co najmniej jednego asa?
Mimo, że problemy wyglądają bardzo podobnie, odpowiedzi na oba pytania znacznie się różnią. W pierwszym przypadku jest to niespełna 37%, a w drugim ponad 56%.
Rozwiązanie obu tych zadań nie jest specjalnie trudne, ale jak ktoś miałby z tym problem, to może zajrzeć do spoilera.

Spoiler:

Przypadek 1
13 kart z 52 można wylosować na 52C13 sposobów (C oznacza tu symbol kombinacji czyli dwumian Newtona z 52 u góry i 13 na dole)
52C13 to w przybliżeniu 6,35 x 10^11
Zero asów można dostać na 48C13 = 1,93 x 10^11 sposobów
Jednego asa można dostać na 4x48C12=2,79 x 10^11 sposobów
Dwa lub więcej asów można dostać na (6,35-1,93-2,79)=1,63 x 10^11 sposobów
Prawdopodobieństwo, że gracz ma dwa lub więcej asów, pod warunkiem, że ma jednego jest więc równe 1,63/(1,63+2,79)=0,3688 czyli 36,88%

Przypadek 2
Wiemy, że gracz X ma asa pikowego oraz 12 innych kart spośród 51. Czyli wszystkich potencjalnych układów jest 51C12=1,59 x 10^11.
Układów bez drugiego asa jest 48C12=6,97 x 10^10
Tak więc prawdopodobieństwo posiadania przez gracza jeszcze co najmniej jednego asa wynosi 1-(48C12/51C12)=0,5612 czyli 56,12%

To ja jeszcze wrócę to tego zadania bo po przeczytaniu wątku nadal nie rozumiem. Ale głownie mam chyba problem ze sposobem w jaki postawione jest pytanie. Dla tak postawionego pytania kolor asa nie ma znaczenia. Jeśli dostał 'niewiadomego' asa to nadal ten as ma jakiś kolor a w talii pozostały 3 kolory i szanse pozostają takie same.

Jeśli pytam z pozycji przeciwnika (mam rękę kart i ujawniam informację o swojej ręce) to drugim przypadku ujawniam więcej informacji o swojej ręce więc prawdopodobieństwo zmniejsza się bo eliminuje układy nie zawierające asa pik z puli ( np. (trefl, kier, -,- ), ( trefl, kier, karo, -) )

Jeśli jako pierwszego dostałem asa to tak wtedy mogę liczyć w sposób drugi i jest dość oczywiste, ale to nie wynika z treści pytania. Ale kluczowy nie jest tutaj kolor a informacja o pozycji.
W ekstremalnie prostym przypadku 2 rzuty monetą:

1. dostajemy częściową wiedzę po rzucie - mamy że mamy 1 orła szansza na 2 to 1/3 ( mamy 4 układy: oo ; or ; ro ; rr elimunujem rr; zostają nam 3 wybieramy 1 szansa= 1/3 )
2. dostajemy informację że jako pierwszy był orzeł szansa na 2 to 1/2 ( eliminujemy oprócz rr także ro; zostają nam 2 rr i rr szansa=1/2)

Teraz dodajemy informację o tym że monety są odpowiednio żółte i zielone - czy informacja że ktoś losowo rzucił np. żółtą coś zmienia ? moim zdaniem nie. Ostatecznie na koniec dnia prawdopodobieństwo to tylko stosunek sukcesów do zbioru możliwych wyników. Zmiana monet na karty jeszcze ten zbiór zawęzi bo mamy kombinacji bez powtórzeń jest mniej niż kombinacji z powtórzeniami.

[MichalStajszczak]

To ja jeszcze wrócę to tego zadania bo po przeczytaniu wątku nadal nie rozumiem. Ale głownie mam chyba problem ze sposobem w jaki postawione jest pytanie. Dla tak postawionego pytania kolor asa nie ma znaczenia. Jeśli dostał 'niewiadomego' asa to nadal ten as ma jakiś kolor a w talii pozostały 3 kolory i szanse pozostają takie same.

Proponuję, żebyś przeanalizował to, co napisałem 11 maja (przykład z dwoma asami i dwoma królami) i ewentualnie moje podsumowanie z 15 maja. Mam wrażenie, że cały czas zajmujesz się licznikiem ułamka, nie zwracając uwagi na to, co jest w mianowniku. A w zadaniach, dotyczących prawdopodobieństwa warunkowego, kluczowy jest często mianownik. Im mniejsza wartość mianownika, tym ułamek ma większą wartość. A tu mamy właśnie taką sytuację - układów, w których jest as konkretnego koloru (czyli w przykładzie pikowego) jest mniej niż układów z dowolnym asem. A skoro jest ich mniej, to mianownik ma mniejszą wartość i przez to ułamek większą.

[dannte]

Bardzo dziękuję za pomoc, moja recenzja zamienia się trochę w tabelkę excelowską, ale udowodniliśmy dzięki temu, że w 18 kartach pojawia się prawdziwy ogrom scenariuszy do rozważenia

E, to jeszcze nic. Jeszcze masz różne permutacje rozstawienia teatrów, możliwość wycofania się wcześniej i wpływ tego na punkty, kolejność zagrywania kart przeciwnika (zagrywacie karty na zmianę, więc raczej to permutacja z 12, nie z 6) - możliwości odwracania różnych kart (im więcej w grze, tym więcej do wyboru) i jakieś ewentualne karty dociągane z talii Pewnie jeszcze pominąłem kilka elementów.

Teraz dodajemy informację o tym że monety są odpowiednio żółte i zielone - czy informacja że ktoś losowo rzucił np. żółtą coś zmienia ? moim zdaniem nie.

Co oznacza "moim zdaniem"? Przecież ta zagadka ma pokazać błąd poznawczy, właśnie o to chodzi, że twój rozsądek ma się nijak do statystyki.

Pomyśl: czym się różni twój przykład z żółtą i zieloną monetą od faktu, czy moneta jest pierwsza, czy druga? Niczym. A Ty próbujesz przykład z żółtą/zieloną wrzucić do wora nr 1 zamiast do wora nr 2.

1. dostajemy częściową wiedzę po rzucie - mamy że mamy 1 orła szansza na 2 to 1/3 ( mamy 4 układy: oo ; or ; ro ; rr elimunujem rr; zostają nam 3 wybieramy 1 szansa= 1/3 )
2. dostajemy informację że jako pierwszy był orzeł szansa na 2 to 1/2 ( eliminujemy oprócz rr także ro; zostają nam 2 rr i rr szansa=1/2)

Może żeby łatwiej było zobrazować wniosek z zagadki Michała: nie patrzcie na to jak na szansę/prawdopodobieństwo, tylko jak na statystykę.

Na 100 rozdań:
1) wśród takich, w których miałem asa pik (było ich powiedzmy 25), więcej niż jeden as pojawił się w 14 z nich (czyli 56%)
2) wśród takich, w których miałem jakiegokolwiek asa (analogicznie byłoby ich powiedzmy 69), więcej niż jeden as pojawił się w 25 z nich (czyli 36%)

Czyli: więcej obiektywnie było rozdań, w przypadku drugim, gdzie miałeś więcej niż 1 asa. Natomiast mniej procentowo zważywszy na narzucony warunek (czyli "subiektywnie" można by rzec).

[donmakaron]

Znaczenia nie ma z czyjej "pozycji" zadawane jest pytanie. Matematyka jest taka sama czy ja ją liczę, czy liczy kto inny
Kolor monet też nie ma znaczenia, jeśli patrzymy tylko na stronę monety. Natomiast w zadaniu jest mowa i o wyniku i o kolorze.

Można by spojrzeć na to tak:
Mam żółtą i zieloną monetę, rozpatruję dwa przypadki:
- Rzuciłem jakąś monetą i mam reszkę w dowolnym kolorze. Jaka jest szansa na reszkę w rzucie druga monetą?
- Rzuciłem jakąś monetą i mam żółtą reszkę. Jaka jest szansa na reszkę w rzucie druga monetą?

W pierwszym wariancie:
- rzuciłem najpierw żółtą, a potem zieloną;
albo
- rzuciłem najpierw zieloną, a potem żółtą.

W drugim wariancie:
- rzuciłem najpierw żółtą, a potem zieloną.

Tutaj chodzi mi o pokazanie, że w oby tych przypadkach mamy inną pulę wyników które nas interesują i tych które nas nie interesują. Stąd bierze się w oryginalnym zadaniu różne prawdopodobieństwo. Mały graf obrazujący zjawisko:

Jak widać pula wszystkich możliwych wyników (udanych lub nie) jest różna, jak i różna jest pula wszystkich możliwych tylko udanych i tu można się doszukiwać innego wyniku. Oczywiście monety są dość prostym modelem i obcinając dokładnie połowę wyników kręcimy się w kółko.

W przykładzie z kartami łatwiej dostrzec, że odcinamy inną część wszystkich możliwych wyników (udanych i nie) oraz inną część wszystkich możliwych wyników udanych. Tu kryje się różnica w prawdopodobieństwie.

Coś na takiej zasadzie: odcięliśmy jedną drugą wszystkich możliwych kombinacji (było 100, jest 50), ale tylko jedną czwartą wszystkich kombinacji spełniających warunek (było 12, jest 9), więc prawdopodobieństwo wzrosło (było 12/100 = 12%, jest 9/50 = 18%).

Dorzuć sobie do przykładu monetarnego monetę w trzecim kolorze i wykonaj rzut dwiema dowolnymi. Będzie różnica, bo - choć pozornie nie ma to znaczenia - trzeba rozpatrzyć, czy w wariancie pierwszym najpierw rzucałeś czerwoną a potem zieloną, czerwoną a potem żółtą, zieloną a potem żółtą, zieloną a potem czerwoną, żółtą a potem czerwoną czy też żółtą a potem zieloną. Natomiast w drugim tylko, że rzucałeś żółtą i czy potem rzucasz zieloną czy czerwoną.

Mam nadzieję, że pomaga to trochę zrozumieć zagadnienie.

[sliff]

Znaczenia nie ma z czyjej "pozycji" zadawane jest pytanie. Matematyka jest taka sama czy ja ją liczę, czy liczy kto inny

Oczywiście że ma, Bez ujednolicenia "pozycji" czy kupujemy sok 1l z dołożonymi 50% czy 2l przeceniony o 50% płacąc za litr soku w promocji 50% gratis możemy dostać 1.5 lub 2l

Mam nadzieję, że pomaga to trochę zrozumieć zagadnienie.

Dziękuje za graf może dzięki temu łatwiej będzie pokazać że grafy są symetryczne, a prawdopodobieństwo zmienia się liniowo kiedy kolory nie mają znaczenia. T

Jeśli wiemy że ma asa pik to wiemy że ma 1 kartę na pewno a pozostałe tworzą 1 z 51C12 układów, gdzie szansę p na kolejnego asa w dowolnym innym kolorze.
Jeśli wiemy że ma asa kier to wiemy że ma 1 kartę na pewno a pozostałe tworzą 1 z 51C12 układów. Tak samo dla karo i trefl. Zagadza sie ?

Teraz że ma 'jakiegoś' asa to P(x) tylko tych asów to dokładnie w talii są 4 kolory z równym prawdopodobieństwem 1/4. p=p(pik)=p(karo)=....

Także jeśli ma asa to mamy 25%p(pik)+25%p(kier)+25%p(karo)+25%p(trefl)
także P(x) = 4* (25%*p) P(x) = p Tylko przestawiony wynik to P(x)=36% a p=52. Także tutaj mi się nie zgadza.

Edit: na koniec należałoby jeszcze odjąć części wspólne danych rozwiązań także P(x) = p()- p(wspolne) i tym samym wszystko się zgadza jeśli zdarzenia są zależnie to musi być mniej.


@Michał przykład z 4 kartami jest jaknajbardziej dobry słuszny także to mój błąd w rozumowaniu...

[donmakaron]

Oczywiście że ma, Bez ujednolicenia "pozycji" czy kupujemy sok 1l z dołożonymi 50% czy 2l przeceniony o 50% płacąc za litr soku w promocji 50% gratis możemy dostać 1.5 lub 2l

No gdzie... czy ja ci ten sok sprzedaję, czy ty go ode mnie kupujesz, litry będą takie same
1L+50% a 2l-50% w ogóle ni jak się do siebie mają. Nie ma co gdybać o punkcie widzenia tych, co nie wiedzą jak cokolwiek policzyć.

Prawdopodobieństwo posiadania drugiego asa (gdzie oba są dowolnego koloru) nie jest równie sumie jednych czwartych prawdopodobieństwa dobrania dowolnego asa do posiadanego już konkretnego asa.

Tak jak pisałem - przypadek dwóch monet jest trochę zbyt prosty i redukuje się liniowo (bo mamy tylko orła i reszkę, a nie od dwójki do asa i to w czterech kolorach), ale zapraszam do rozrysowania sobie przypadków z kartami i wszystko stanie się jaśniejsze Różnica nie będzie liniowa.

[sliff]

Ok, dziękuje panowie. Mózg mi się zagiął w precel ale rozumiem z czego to wynika. Po prostu przy dodaniu prawdopodobieństwa należy jeszcze odjąć część wspólną z każdego rozwiązania. I o ile rzuty monetą są niezależne wyciągane karty już tak.

[MichalStajszczak]

Teraz że ma 'jakiegoś' asa to P(x) tylko tych asów to dokładnie w talii są 4 kolory z równym prawdopodobieństwem 1/4. Także jeśli ma asa to mamy 25%p(pik)+25%p(kier)+25%p(karo)+25%p(trefl)

Obawiam się, że jest tu potrzebna wiedza na temat samych podstaw rachunku prawdopodobieństwa.
Faktycznie szansa na asa pik w 13 kartach jest 25% (i szansa na każdą inną kartę też). Ale jednocześnie prawdopodobieństwo, że mamy w 13 kartach:
- dokładnie zero asów 30,38%
- dokładnie jednego asa 43,88%
- dokładnie dwa asy 21,35 %
- dokładnie trzy asy 4,12 %
- dokładnie cztery asy 0,26%
Stąd wniosek, że szansa na asa pikowego, gdy mamy:
- jednego asa: 43,88/4 = 10,97 %
- dwa asy: 21,35/2 = 10,67 %
- trzy asy : 4,12*,75 = 3,09 %
- cztery asy: 0,26 %
co w sumie daje oczywiście 25%

EDIT: Chyba zanim zdążyłem to napisać, sliff już załapał o co chodzi

[sqb1978]

Proponuję, żebyś przeanalizował to, co napisałem 11 maja (przykład z dwoma asami i dwoma królami) i ewentualnie moje podsumowanie z 15 maja. Mam wrażenie, że cały czas zajmujesz się licznikiem ułamka, nie zwracając uwagi na to, co jest w mianowniku. A w zadaniach, dotyczących prawdopodobieństwa warunkowego, kluczowy jest często mianownik. Im mniejsza wartość mianownika, tym ułamek ma większą wartość. A tu mamy właśnie taką sytuację - układów, w których jest as konkretnego koloru (czyli w przykładzie pikowego) jest mniej niż układów z dowolnym asem. A skoro jest ich mniej, to mianownik ma mniejszą wartość i przez to ułamek większą.

Ja również nie zgadzam się z tym wynikiem. Tu nie ma prawdopodobieństwa warunkowego, tylko 2 zdarzenia: pierwsze to dobranie asa o prawdopodobieństwie 1, bo wynik znamy. I drugie, które w obydwu przypadkach jest takie samo, bo pierwsze nie miało na niego wpływu. Trzeba napisać tę zagadkę inaczej, aby prawdopodobieństwo było warunkowe:
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz otrzyma asa, a potem jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz otzyma asa pik, a potem jeszcze co najmniej jednego asa?
Zresztą można sobie zrobić symulację jeśli ktoś potrafi programować. Problem z interpretacją tekstu, bo z matematyką się nie dyskutuje

[sliff]

W zagadce mimo, że jak to jest dziwne (moje posty z dzisiaj to potwierdzają) to podane są wszystkie informacje które są potrzebne i nic ponadto - jak to się mówi na forum elegancki desing.

Niema tu 2 zdarzeń bo karty zostały rozdane raz. Cały myk polega na tym jak informacja o kolorze asa która intuicyjnie nie ma znaczenia ale faktycznie zmniejsza liczbę rozwiązań do rozważenia tak jakby w talii było tylko 51 kart.
A jako że to jest kombinacja bez powtórzeń to kolejność nie ma znaczenia.

[MichalStajszczak]

Tu nie ma prawdopodobieństwa warunkowego

Jak nie ma jak jest. Nie zmieniając sensu można zapisać to samo zadanie w postaci:
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz ma jeszcze co najmniej jednego asa pod warunkiem, że ma jakiegoś asa?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz ma jeszcze co najmniej jednego asa pod warunkiem, że ma asa pik?

[venomik]

To ja jeszcze wrócę to tego zadania bo po przeczytaniu wątku nadal nie rozumiem. Ale głownie mam chyba problem ze sposobem w jaki postawione jest pytanie. Dla tak postawionego pytania kolor asa nie ma znaczenia. Jeśli dostał 'niewiadomego' asa to nadal ten as ma jakiś kolor a w talii pozostały 3 kolory i szanse pozostają takie same.

Poruszyłeś kwestię, która wielu osobom sprawia problem, bo jest mało intuicyjna na pierwszy rzut oka.

Ale zobacz sobie na prostym przykładzie.
Prawdopodobieńśtwo urodzenia się chłopca i dziewczynki jest takie samo, 50%. Rodzina ma dwójkę dzieci.
1. Jedno z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że drugie też jest chłopcem?
Wydaje się, że oczywiście 50%, prawda? Ale nie.
Są cztery możliwe kombinacje:
CC - pierwsze dziecko to chłopiec, drugie dziecko to chłopiec
CD - pierwsze dziecko to chłopiec, drugie dziecko to dziewczynka
DC - pierwsze dziecko to dziewczynka, drugie dziecko to chłopiec
DD - pierwsze dziecko to dziewczynka, drugie dziecko to dziewczynka
Są trzy opcje spełniające warunek 'jedno z dzieci jest chłopcem'. I tylko jedna opcja spełniająca warunek (jedno z dzieci jest chłopcem, drugie z dzieci też jest chłopcem'. Innymi słowy prawdopodobieńśtwo, że 'drugie dziecko też jest chłopcem' wynosi zaledwie 1/3.

2. Pierwsze z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko też jest chłopcem?
Tutaj już wygląda inaczej. Skoro pierwsze dziecko jest chłopcem to zbiory potencjalne zostają ograniczone już tylko do CC oraz CD. Dlatego prawdopodobieństwo CC już wynosi 1/2.

I tutaj też może się wydawać, że: hola hola, ale przecież:
Pierwsze z dzieci jest chłopcem. Prawdopodobieńśtwo, że drugie jest chłopcem wynosi 50%
Drugie z dzieci jest chłopcem. Prawdopodobieńśtwo, że pierwsze jest chłopcem wynosi 50%
Czyli nie ma różnicy na którym miejscu jest chłopiec! A jednak jeśli nie podamy na którym miejscu jest chłopiec to prawdopodobieństwo juz spadnie do 1/3.

Dokładnie tak samo jest z asami, tylko tam zamiast kolejności rodzenia się dzieci masz kolor konkretnego asa. Też niezależnie od tego jaki to jest kolor, jeśli tylko jest podany konkretny, będzie jedno i takie samo prawdopodbieństwo. Ale jeśli jednak tego koloru nie podasz w ogóle - zmienią sią już zbiory spełniające wymagany warunek, przez co zmieni się też prawdopodobieństwo.

[MichalStajszczak]

Ale zobacz sobie na prostym przykładzie.
Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca i dziewczynki jest takie samo, 50%.

Przykład dobry ale np. w Wielkiej Brytanii już nieaktualny, skoro różnych płci jest ponad 150.

[venomik]

Piszę o płci biologicznej, a nie tożsamości płciowej ;]

[sliff]

To ja jeszcze wrócę to tego zadania bo po przeczytaniu wątku nadal nie rozumiem. Ale głownie mam chyba problem ze sposobem w jaki postawione jest pytanie. Dla tak postawionego pytania kolor asa nie ma znaczenia. Jeśli dostał 'niewiadomego' asa to nadal ten as ma jakiś kolor a w talii pozostały 3 kolory i szanse pozostają takie same.

Spoiler:

Poruszyłeś kwestię, która wielu osobom sprawia problem, bo jest mało intuicyjna na pierwszy rzut oka.

Ale zobacz sobie na prostym przykładzie.
Prawdopodobieńśtwo urodzenia się chłopca i dziewczynki jest takie samo, 50%. Rodzina ma dwójkę dzieci.
1. Jedno z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że drugie też jest chłopcem?
Wydaje się, że oczywiście 50%, prawda? Ale nie.
Są cztery możliwe kombinacje:
CC - pierwsze dziecko to chłopiec, drugie dziecko to chłopiec
CD - pierwsze dziecko to chłopiec, drugie dziecko to dziewczynka
DC - pierwsze dziecko to dziewczynka, drugie dziecko to chłopiec
DD - pierwsze dziecko to dziewczynka, drugie dziecko to dziewczynka
Są trzy opcje spełniające warunek 'jedno z dzieci jest chłopcem'. I tylko jedna opcja spełniająca warunek (jedno z dzieci jest chłopcem, drugie z dzieci też jest chłopcem'. Innymi słowy prawdopodobieńśtwo, że 'drugie dziecko też jest chłopcem' wynosi zaledwie 1/3.

2. Pierwsze z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugie dziecko też jest chłopcem?
Tutaj już wygląda inaczej. Skoro pierwsze dziecko jest chłopcem to zbiory potencjalne zostają ograniczone już tylko do CC oraz CD. Dlatego prawdopodobieństwo CC już wynosi 1/2.

I tutaj też może się wydawać, że: hola hola, ale przecież:
Pierwsze z dzieci jest chłopcem. Prawdopodobieńśtwo, że drugie jest chłopcem wynosi 50%
Drugie z dzieci jest chłopcem. Prawdopodobieńśtwo, że pierwsze jest chłopcem wynosi 50%
Czyli nie ma różnicy na którym miejscu jest chłopiec! A jednak jeśli nie podamy na którym miejscu jest chłopiec to prawdopodobieństwo juz spadnie do 1/3.

Dokładnie tak samo jest z asami, tylko tam zamiast kolejności rodzenia się dzieci masz kolor konkretnego asa. Też niezależnie od tego jaki to jest kolor, jeśli tylko jest podany konkretny, będzie jedno i takie samo prawdopodbieństwo. Ale jeśli jednak tego koloru nie podasz w ogóle - zmienią sią już zbiory spełniające wymagany warunek, przez co zmieni się też prawdopodobieństwo.

Trochę namieszałeś. Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia) są 3: CC, CD=DC i DD. Wariacji (kolejność ma znaczenie) są 4. Także akurat na pytanie "Jedno z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że drugie też jest chłopcem?" mogę spokojnie nie rozróżniać i powiedzieć 50%. Zdarzenie te są rozłączne i nawet jeśli mi pokażesz 51 dzieci nie mam żadnej informacji o tym jakiej płci jest 52. W przypadku kart natomiast jeśli pociągniesz z 52 karty z talii bez żadnej informacji mogę ci powiedzieć ile masz asów.

[Atamán]

Pozwolę się sobie wtrącić z nieco przydługim postem, bo mam wrażenie, że dyskusja wokół tych asów z talii kręci się w miejscu, a mam coś istotnego do dodania. Mam wrażenie, że nie został tu poruszony istotny wątek, jakim jest: procedura pozyskiwania informacji.

Słowem wstępu: Ważnym elementem szacowania prawdopodobieństw jest to, w jaki sposób pozyskaliśmy wiedzę, na podstawie której chcemy szacować prawdopodobieństwa. W zadaniu z asami nie mamy żadnych wskazówek na temat tego, w jaki sposób otrzymaliśmy informacje o asie (lub asie pik). Czyli nie wiemy tego, w jaki sposób działała osoba, która nam informacje przekazywała, jaki schemat decyzyjny zastosowała. Mamy tylko zapis informacji językiem naturalnym. Na podstawie tego zapisu jesteśmy w stanie przyjąć pewne założenia dotyczące tej procedury, ale to są tylko nasze założenia, a im bardziej złożona jest informacja, tym większa szansa, że przyjmiemy inne założenia dotyczące procedury, a wtedy prowadzi to do różnych założeń w szacowaniu prawdopodobieństw. (a konkretniej różnicach w przekładzie języka naturalnego na język logiki/matematyki)

W szczególności chcę wrócić do posta BartP, bo zadał tu bardzo proste, a istotne pytania:

Pisałem to wcześniej, ale powtórzę, może ktoś mi to wytłumaczy, naprawdę będę niezmiernie wdzięczny, bo wtedy będę odrobinę mądrzejszy.

Przede wszystkim: czy ta sytuacja jest analogiczna? Czy mogę w ogóle stosować tu pr-o warunkowe?
Mamy banalny scenariusz z dwoma asami (pik i kier) i dwoma królami. Gracz bierze dwie karty na rękę. I mówi mi, że ma asa.
1. Czy ja powinienem w tym momencie pomyśleć, że jest pr-o 1/5, że ma drugiego asa?
2. Czy jak doda "tak dokładniej, to asa pik", to powinienem stwierdzić, że jednak pr-o wynosi 1/3?
3. Skoro tak na dobrą sprawę musi mieć asa pik lub asa kier, i pr-o kolejnego asa będzie albo 1/3 albo 1/3, to czemu nie można od razu odpowiedzieć na pytanie 1, że pr-o jest 1/3 ?

I naprawdę, ja widzę jak na dłoni te rozrysowane przypadki. I widzę jak w mordę strzelił tę 1/3 i 1/5. Ale nie spina mi się to w mózgu.

No to idziemy po kolei z pytaniami:

1. To pierwsze pytanie raczej nie budzi wątpliwości i wiele osób odpowie, że 1/5 to prawidłowa odpowiedź. Wynika to z tego, że zdanie jest dosyć proste i większość przyjmie to samo założenie o procedurze pozyskania informacji. Ta procedura wyglądać będzie następująco:

Kod: Zaznacz cały

Gracz liczy, ile ma asów na ręku.
     Jeśli ma min 1 asa, to mówi nam: "Mam asa".
     Jeśli nie ma asów, to mówi nam: "Nie mam asa".

Przy takiej procedurze faktycznie prawdopodobieństwo wynosi 1/5.
Ale temat nie jest zamknięty. Bo skąd możemy mieć pewność, że tak właśnie wyglądała procedura?
A może procedura udzielania informacji przez gracza wyglądała tak:

Kod: Zaznacz cały

Gracz losowo (z równym prawdopodobieństwem) patrzy na jedną ze swoich kart i sprawdza co to jest.
     Jeśli wylosowana karta jest asem, to mówi nam: "Mam asa".
     Jeśli wylosowana karta jest królem, to mówi nam: "Mam króla".

I przy takiej procedurze przekazywania informacji mamy już inne prawdopodobieństwa warunkowe. W takiej sytuacji, po usłyszeniu informacji "Mam asa" prawdopodobieństwo 2 asów wynosi 1/3. (nie chce mi się tu podawać obliczeń)
A są jeszcze możliwe jeszcze bardziej dziwne procedury pozyskania informacji, np.:

Kod: Zaznacz cały

Gracz liczy, ile ma królów na ręku.
     Jeśli ma min 1 króla, to mówi nam: "Mam króla".
     Jeśli nie ma żadnego króla, to mówi nam: "Mam asa".

To oczywiście jest ekstremalna i nieintuicyjna, więc większość osób, ją odrzuci. Niemniej jak nie znamy procedury, to i taka jest możliwa, a ona przecież daje nam po usłyszeniu "Mam asa" 100% prawdopodobieństwa, że asów gracz ma dwa.

(Zwracam tylko uwagę, że przykładzie Michała Stajszczaka to pierwsze zdanie brzmiało inaczej ("Wiadomo, że gracz X ma asa."). To zdanie brzmi bardziej precyzyjnie niż zwykłe "Mam asa" i pozwala nam być bardziej zgodnym w sprawie domniemanej procedury pozyskania informacji. Ale to tylko zawęża nasze intersubiektywne założenia. Nadal - czysto teoretycznie - wszystkie przytoczone przeze mnie procedury mogły być źródłem tej informacji.)

2. W drugim pytaniu - tutaj dostaliśmy więcej informacji, ale nadal nie znamy procedury jej pozyskania. Co więcej przez to, że sama informacja jest bardziej złożona mogą powstać większe rozbieżności dotyczące naszych założeń na ten temat.
Autorzy książki GameTek, a za nimi Michał Stajszczak przyjmują następującą procedurę pozyskania informacji:

Kod: Zaznacz cały

Gracz liczy, ile ma asów pik na ręku.
     Jeśli ma min 1 asa pik, to mówi nam: "Mam asa pik".
     Jeśli nie ma asów pik, to mówi nam: "Nie mam asa pik".

To jest oczywiście możliwa procedura - choć moim zdaniem również dość dziwna - ale to ona właśnie prowadzi do tego nieintuicyjnego wyniku 1/3. A dlaczego wynik jest nieintuicyjny? Bo opisana powyżej procedura jest nieintuicyjna.
Natomiast wątpliwości BartP wynikają - mam wrażenie - z tego, że przyjął on odmienne założenie dotyczące procedury. Coś w stylu:

Kod: Zaznacz cały

Gracz liczy ile ma asów na ręku.
     Jeśli ma 2 asy, to losowo (z równym prawdopodobieństwem) patrzy na jednego z nich.
         Jeśli wylosowana karta to as pik, to mówi: "Mam asa pik".
         Jeśli wylosowana karta to as kier, to mówi "Mam asa kier".
    Jeśli ma 1 asa, to sprawdza jego kolor.
         Jeśli jest to as pik, to mówi: "Mam asa pik".
         Jeśli jest to as kier, to mówi: "Mam asa kier".
     Jeśli nie ma asów, to mówi nam: "Nie mam asa".

Ta procedura wygląda na bardziej skomplikowaną, ale wg mnie jest ona bardziej intuicyjna. Gracz mówi nam, że ma asa - i dodaje nam informację o kolorze. Ale w przypadku tej procedury informacja o kolorze jest dla nas zbędna. W tej sytuacji po usłyszeniu zdania "Mam asa pik" prawdopodobieństwo tego, że gracz ma 2 asy wynosi 1/5. (też mi się nie chce pokazywać obliczeń)

3. W pytaniu trzecim wracamy trochę do tego, co opisałem przy pytaniu pierwszym. Skoro gracz udzieli nam informacji, że "Mam asa, a dokładniej to asa pik", to moglibyśmy przyjąć założenie, że po wylosował jedną ze swoich kart i podał nam o niej informację. W takiej sytuacji dodatek o kolorze nie ma znaczenia i zarówno przy zdaniu "Mam asa", jak i "Mam asa, a dokładniej asa pik" mamy prawdopodobieństwo 2 asów 1/3.

Podsumowując - jakiej odpowiedzi powinniśmy udzielić na podstawione przez Michała Stajszczaka pytania (zakładam wersję 4-kartową).

1. Wiadomo, że gracz X ma asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma jeszcze co najmniej jednego asa?
2. Wiadomo, że gracz X ma asa pik. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ma jeszcze co najmniej jednego asa?

Część z was odpowiada:
1. 1/5, bo musi mieć albo 1 albo 2 asy.
2. 1/5, bo musi mieć albo 1 albo 2 asy, a kolor asa nie ma znaczenia.

Druga część z was odpowiada:
1. 1/5, bo odrzucamy zdarzenie, że ma 2 króle.
2. 1/3, bo odrzucamy zdarzenia, że ma 2 króle oraz że ma asa kier i króla.

Natomiast rozumiejąc problematykę procedury pozyskiwania informacji odpowiedzieć powinniśmy:
1. To zależy od procedury pozyskania tej informacji, ale co najmniej 1/5 (bo z całą pewnością możemy odrzucić zdarzenie, że są 2 króle).
2. To zależy od procedury pozyskania tej informacji, ale co najmniej 1/5 (bo z całą pewnością możemy odrzucić zdarzenie, że są 2 króle).

Problem procedury pozyskania informacji leży u podstaw wielu nieporozumień w prawdopodobieństwie i statystyce. Rozumiejąc go jesteśmy w stanie dużo łatwiej pojąć źródło popularnych paradoksów prawdopodobieństwa, jak np.:
Paradox Monty Halla. Ten paradoks ma rozwiązanie, które można wyliczyć, bo znana jest procedura pozyskiwania informacji. A sam paradoks opiera się właśnie na tym, że ta procedura nie jest intuicyjna.
Natomiast paradoks chłopca i dziewczynki nie ma ustalonego rozwiązania, a przyczyną rozbieżności jest właśnie brak informacji o procedurze. A przytoczony w tej dyskusji przykład z asami jest do niego analogiczny.

[venomik]

Trochę namieszałeś. Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia) są 3: CC, CD=DC i DD. Wariacji (kolejność ma znaczenie) są 4. Także akurat na pytanie "Jedno z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że drugie też jest chłopcem?" mogę spokojnie nie rozróżniać i powiedzieć 50%. Zdarzenie te są rozłączne i nawet jeśli mi pokażesz 51 dzieci nie mam żadnej informacji o tym jakiej płci jest 52. W przypadku kart natomiast jeśli pociągniesz z 52 karty z talii bez żadnej informacji mogę ci powiedzieć ile masz asów.

Nic nie namieszałem

1. Nie możesz sobie 'nie rozróżniać' i przyjmować 50%. Jeśli sobie połączysz zdarzenia CD oraz DC w jedno (nazwijmy to R - jak Różne płcie) i uznasz, jak to się ładnie nazywało, że prawdopodobieństwo a priori wystąpienia tego wynosi tle samo, co prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia CC - to z automatu zaprzeczasz podstawowemu warunkowi, że w każdej ciąży szansa na urodzenie chłopca i dziewczynki wynosi po 50%.
Nie da się inaczej. Zawsze jeśli szanse na urodzenie chłopca i dziewczynki są takie same to rozkład płci u dwojga rodzeństwa będzie dążył do 25%: dwóch chłopców, 25: dwie dziewczynki oraz 50% dwie różne płcie. Po prostu nie ma innej opcji.

2. Źle interpretujesz powód akurat takiej analogii
Nie chodzi mi o uproszczenie z 4 asów do 2 płci. Chodzi mi o coś innego.
Pierwotny problem był taki, że jeżeli dodamy informację jaki to jest as - czy to As pik, as kier, as karo, as trefl - to ostateczne prawdopodobieństwo będzie takie samo. To czy nie powinno być takie samo jeśli w ogóle nie podamy informacji co to za as? Intuicyjnie wyżej użytkownik założył, że tak. A to nie jest prawdą.
Podobnie w analogii: jeśli podamy informację, którym dzieckiem jest chłopiec - czy jako pierwszy urodzony, czy jako drugi urodzony - to ostateczne prawdopodobieńśtwo dwóch chłopców będzie takie samo '50%' - to czy nie możemy pominąć tej informacji jako który był chłopiec? I odpowiedź: nie, nie możemy. Ale z racji tego, ze są tylko 4 możliwe zdarzenia, dodatkowo każde z taką samą szansą powstania, łatwiej sobie przyswoić dlaczego w jednym przypadku jest 1/3, a w drugim 1/2.

[sliff]

Trochę namieszałeś. Kombinacje (kolejność nie ma znaczenia) są 3: CC, CD=DC i DD. Wariacji (kolejność ma znaczenie) są 4. Także akurat na pytanie "Jedno z dzieci jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieńśtwo, że drugie też jest chłopcem?" mogę spokojnie nie rozróżniać i powiedzieć 50%. Zdarzenie te są rozłączne i nawet jeśli mi pokażesz 51 dzieci nie mam żadnej informacji o tym jakiej płci jest 52. W przypadku kart natomiast jeśli pociągniesz z 52 karty z talii bez żadnej informacji mogę ci powiedzieć ile masz asów.

Nic nie namieszałem

Spoiler:

1. Nie możesz sobie 'nie rozróżniać' i przyjmować 50%. Jeśli sobie połączysz zdarzenia CD oraz DC w jedno (nazwijmy to R - jak Różne płcie) i uznasz, jak to się ładnie nazywało, że prawdopodobieństwo a priori wystąpienia tego wynosi tle samo, co prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia CC - to z automatu zaprzeczasz podstawowemu warunkowi, że w każdej ciąży szansa na urodzenie chłopca i dziewczynki wynosi po 50%.
Nie da się inaczej. Zawsze jeśli szanse na urodzenie chłopca i dziewczynki są takie same to rozkład płci u dwojga rodzeństwa będzie dążył do 25%: dwóch chłopców, 25: dwie dziewczynki oraz 50% dwie różne płcie. Po prostu nie ma innej opcji.

2. Źle interpretujesz powód akurat takiej analogii
Nie chodzi mi o uproszczenie z 4 asów do 2 płci. Chodzi mi o coś innego.
Pierwotny problem był taki, że jeżeli dodamy informację jaki to jest as - czy to As pik, as kier, as karo, as trefl - to ostateczne prawdopodobieństwo będzie takie samo. To czy nie powinno być takie samo jeśli w ogóle nie podamy informacji co to za as? Intuicyjnie wyżej użytkownik założył, że tak. A to nie jest prawdą.
Podobnie w analogii: jeśli podamy informację, którym dzieckiem jest chłopiec - czy jako pierwszy urodzony, czy jako drugi urodzony - to ostateczne prawdopodobieńśtwo dwóch chłopców będzie takie samo '50%' - to czy nie możemy pominąć tej informacji jako który był chłopiec? I odpowiedź: nie, nie możemy. Ale z racji tego, ze są tylko 4 możliwe zdarzenia, dodatkowo każde z taką samą szansą powstania, łatwiej sobie przyswoić dlaczego w jednym przypadku jest 1/3, a w drugim 1/2.

Jeszcze raz. Namieszałeś bo stosujesz przykład z dziećmi do kart. Jeśli rozpatrujemy przykład fizycznie to pula wyników dla dzieci zawsze jest wariacją. Słowo kombinacja nie powino się tutaj pojawić wcale. Oczywiście można zrobić zbiór kombinacji tylko jest ich 3 ale ich prawdopodobieństwo jest różne DD(p0.25), DC(0.5), CC(0.25). Ale jeśli losujemy z abstracyjnej puli gdzie jest 2 chopców i 1 dziewczynka to prawdopodobieństwo w kombinacji zmieni się na DD(p0), CD (0.5), CC(0.5) a w wariacji szansa na 2 dziewczynki to 1/9. Tak samo przy rzucie 2k6 7 wypadnie częściej niż 2 czy 12 bo pula wyników jest wariacją nie kombinacją.

Karty natomiast są fizycznie w tym wypadku kombinacją bez powtórzeń - zakładamy że mamy 1 pełną talię i jeśli wylosujemy 2 asy to nadal mamy pokerową parę niezależnie od tego czy dostaliśmy 2 asy pod rząd czy rodzielone. Alternatywnie można policzyć wariację bez powtórzeń i ostatecznie wynik będzie ten sam tylko liczby czasami większe o rzędy wielkości talia kart ma 8x10^67 permutacji, korzystając z kombinacji ograniczamy obliczenia do milionów dla ręki 5 kart.