Smerf Maruda pisze:Uważam, że nie działa ono również dla kart 52 - co zapewne można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.
Moje 0,03 zł: może i można indukcyjnie (choć nie widzę, jak), ale prościej z
zasady Dirichleta. Szkic dowodu jest np. taki: z z.D. wynika, że któryś układ się powtórzy. Jeśli to ten początkowy, to jesteśmy w domu. Jeśli nie, cofamy się (możemy, bo
permutacje są z definicji
bijekcjami), aż dojdziemy do początkowego. I teraz naprawdę qed
.
Dużo prostszy (de facto, natychmiastowy) dowód dostaniemy, jak zauważymy, że kolejne "potęgi" jakiejkolwiek ustalonej permutacji tych, dajmy na to, 52 kart tworzą podgrupę grupy skończonej S_{52} (zresztą cykliczną, co akurat dla dowodu skończoności jest bez znaczenia).
Sęk w tym, że ilość tasowań potrzebnych do powrotu może być dość duża. Wbrew temu, co napisałem poprzednio (głupi błąd!) o tej ilości twierdzenie Lagrange'a mówi tyle, że jest dzielnikiem liczby 52!, która wynosi mniej więcej 8*10^{67} (ósemka i 67 zer) - sporo. Możliwe, że jest to akurat osiem; możliwe, że da się to łatwo policzyć; ja nie wiem, jak (ale mogę spróbować się dowiedzieć, gdyby ktoś był ciekaw).
To troszkę podobnie, jak w słynnym
twierdzeniu Poincarégo o powrocie, choć jest to tylko pewna analogia - twierdzenia Poincarégo nie da się tu (chyba) zastosować. Analogia jest jednak niezła, bo dowód przebiega całkiem podobnie. Co więcej, pojawia się podobny paradoks: wydaje się niemożliwe, żeby po wielu, wielu tasowaniach talia wróciła do stanu początkowego (tzn. tak się wydaje wtedy, jak się nie ma mózgu nasączonego studiami matematycznymi
, bo jak się ma, to powyższe dowody robi się niemal rdzeniem kręgowym, jak pieski Pawłowa
).
Dobra, koniec offtopa.