Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[sliff]

Żeby zmieścić 18 różnych symboli, slotów potrzeba 9. Jak rozumiem, chcesz znaleźć minimalną wielkość zbioru kart, żeby dało się zapełnić sloty 18 różnymi symbolami.

Dokładnie tak. Wiem że w najlepszym przypadku wystarczy mi 9 kart ( symbole są parami na kolejnych 9 kartach), w najgorszym potrzebuje 17 kart ( wszystkie karty mają na górnej połowe ten sam sybol). Pytanie jak określić minimum dla jeśli górna połowa jest dobrana losowo.

[PytonZCatanu]

Wiem, to podstawy i wstyd pytać....

Załóżmy, że rzucam 2 kośćmi i interesuje mnie sukces na 6 (co najmniej jedna 6). Jakie jest prawdopodobieństwo, że mi się uda? Jakie jest dla 3 kości?

[PawelX]

Wiem, to podstawy i wstyd pytać....

Załóżmy, że rzucam 2 kośćmi i interesuje mnie sukces na 6 (co najmniej jedna 6). Jakie jest prawdopodobieństwo, że mi się uda? Jakie jest dla 3 kości?

Prawdopodobieństwo co najmniej jednej 6-ki = 1 - prawdopodobieństwo, że nie uda się wyrzucić żadnej szóstki. Czyli przy n rzutach kostką będzie wynosiło:
1 - (5/6)^n

n=2 => 1-(5/6)^2 = 1- 25/36 = 11/36

[MichalStajszczak]

Załóżmy, że rzucam 2 kośćmi i interesuje mnie sukces na 6 (co najmniej jedna 6). Jakie jest prawdopodobieństwo, że mi się uda?

Najłatwiej to policzyć, rozpatrując zdarzenie odwrotne tzn. prawdopodobieństwo zdarzenia, że sukcesu nie będzie. Konkretnie: w przypadku rzutu dwiema kostkami liczymy prawdopodobieństwo zdarzenia, że na obu wypadną liczby od 1 do 5. Jest to oczywiście (5/6)^2 czyli 25/36. W związku z tym "szansa na sukces" czyli wyrzucenie co najmniej jednej szóstki to 1-25/36 czyli 11/36.

Jakie jest dla 3 kości?

Analogicznie dla 3 kostek mamy 1 - 125/216 = 91/216

Edit: PawelX był szybszy

[MichalStajszczak]

Wiem, to podstawy i wstyd pytać....

Przypadek, o który pytałeś był faktycznie bardzo prosty. Ciekawsze jest np. pytanie o szansę wyrzucenia co najmniej trzech szóstek przy rzucie 8 kostkami k6.
Można tu wykorzystać tzw. zdarzenie Bernoulliego, które opisuje szansę na uzyskanie k sukcesów w n próbach.
Ogólny wzór to C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k) gdzie C(n,k) to dwumian Newtona czyli kombinacje, a p prawdopodobieństwo sukcesu.
Jeżeli chcemy znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie trzech szóstek, to wzór przyjmuje postać:
C(8,3) * (1/6)^3 * (5/6)^5 = 0,10419
Żeby policzyć szansę na wyrzucenie co najmniej trzech szóstek, trzeba zsumować prawdopodobieństwa dla 3, 4, 5, 6, 7 i 8 szóstek albo postąpić tak, jak opisałem w poprzednim poście czyli od 1 odjąć prawdopodobieństwa dla 0, 1 i 2 szóstek.
Konkretnie jest to 1 - 0,23 - 0,37 - 0,26 = 0,14
Rozwiązania różnych innych zagadnień, związanych z kostkami do gry, można znaleźć na tej stronie