Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka

[PytonZCatanu]

Pytanie do fachowców

Mam deck kart złożony z 18 całkowicie różnych kart.
Na rękę pobieram 6 kart.

Ile jest wszystkich możliwych kombinacji kart na ręce?


(Bonus: i jak to policzyć? )

[Mr_Fisq]

https://pl.wikipedia.org/wiki/Kombinacj ... 3rze%C5%84
=>
https://www.naukowiec.org/kalkulatory/k ... oryka.html
=>

[MichalStajszczak]

Mam deck kart złożony z 18 całkowicie różnych kart.
Na rękę pobieram 6 kart.

Czy to pytanie dotyczy gry "Zwierzęcy front"? Bo praktycznie identyczne pytanie było w tym wątku zadane dwie strony wcześniej (28 czerwca) i odnosiło się do tej gry.

[Arius]

Pytanie do fachowców

Mam deck kart złożony z 18 całkowicie różnych kart.
Na rękę pobieram 6 kart.

Ile jest wszystkich możliwych kombinacji kart na ręce?


(Bonus: i jak to policzyć? )

Jak to policzyć?
Masz 18 kart, losujesz 6.
Pierwsza kartę "wybierasz" na 18 sposobów, druga na 17, trzecia na 16 itd. Więc masz
18*17*16*15*14*13.
Ale interesują Cie kombinacje bez powtórzeń.
A więc sytuację w stylu A B C D E F oraz A B C D F E
Musisz wykluczyć.
A takich sytuacji będzie 6*5*4*3*2*1
Dzielisz jedno przez drugie (jeśli wyjdzie ułamek to dzielisz odwrotnie) i dostajesz wynik.
Wzór Ci podali, ja tłumaczę czemu akurat tak.

[PytonZCatanu]

Mam deck kart złożony z 18 całkowicie różnych kart.
Na rękę pobieram 6 kart.

Czy to pytanie dotyczy gry "Zwierzęcy front"? Bo praktycznie identyczne pytanie było w tym wątku zadane dwie strony wcześniej (28 czerwca) i odnosiło się do tej gry.

Jest kilka takich gier (Air Land Sea, Żelazna Kurtyna, 13 minutes). Przyznaję jednak, że miałem rozkmine na temat Zwierzęcego Fortu

[MichalStajszczak]

Przyznaję jednak, że miałem rozkmine na temat Zwierzęcego Frontu

No właśnie. Jak w czerwcu potwierdziłem słuszność identycznego rozwiązania problemu kombinatorycznego, związanego z tą grą, to dałeś kciuka w górę. Czyli zapewne mój ówczesny post przeczytałeś. Dlatego zaskoczyło mnie, że pytasz o to samo, co już kiedyś było wyjaśnione.

[PytonZCatanu]

Przyznaję jednak, że miałem rozkmine na temat Zwierzęcego Frontu

No właśnie. Jak w czerwcu potwierdziłem słuszność identycznego rozwiązania problemu kombinatorycznego, związanego z tą grą, to dałeś kciuka w górę. Czyli zapewne mój ówczesny post przeczytałeś. Dlatego zaskoczyło mnie, że pytasz o to samo, co już kiedyś było wyjaśnione.

Fakty się zgadzają. Zazdroszczę pamięci - ja kompletnie o tym nie pamiętałem.

[dannte]

Ostatnio przeprowadziłem doświadczenie sprawdzające szanse na wygraną każdej z 6 legend w grze Turbo (Heat: Pedal to the Metal) i doszedłem do ciekawych wniosków (zakładając, że nie mam jakiegoś nieoczywistego błędu w kodzie programu, którego użyłem do zebrania danych). Więcej tutaj: KLIK

Problem jest złożony z perspektywy analitycznej, dlatego postanowiłem podejść do tego numerycznie i wesprzeć się programem, w którym zaimplementowałem mechanikę całej obsługi legend (i rozegrania pojedynczego wyścigu).

[Propi]

Przychodzę z kolejną zagwozdką

Mamy osiem kostek - dla uproszczenia przyjmijmy, że każda ma zupełnie inny rozkład (już nie wchodząc w to, jaki to rozkład - w skrócie jest to alfabet angielski, plus kilka pól bonusowych). Łącznie to jest ok. 26 różnych ścianek pomiędzy tymi kostkami - niektóre pola bonusowe i litery się powtarzają. Przyjmijmy jednak, że ścianki są niepowtarzalne, bo inaczej się nie odkopiemy.

Losujemy po kolei kostki tak, by uzyskać z nich od 1 do 4 rezultatów (tzn. są sytuacje, gdzie wyjdzie tylko jedna kostka, są takie, gdzie wyjdą wszystkie 4).

Przyjąłem metodę, że liczę na ile sposobów mogę wybrać z ze zbioru 26-elementowego 4 elementy: wychodzi mi 14950 (http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-4-z-26). Nie mam natomiast pojęcia, jak uwzględnić w tym możliwość, że zamiast czterech kostek będą dwie albo jedna.

Nie chcę tu wchodzić w dokładny rozkład ścianek i powtórzeń, bo to zbyt gruba rozkmina, a poza tym nie mam kostek pod ręką. Natomiast jestem ciekaw przybliżonego rzędu wartości z tak zadaną mechaniką.

Dodam od siebie, że chodzi o grę Gorilla Marketing - słowną party game, w której wymyślamy nazwy firm, zespołów lub produktów. Kostkami ustalamy akronim nazwy, a następnie sloganu, na podstawie których tworzymy swoje pomysły. Bardzo polecam, bo ciekawe to jest jak diabli, a i kreatywniejsze niż większość party games. Recenzja wkrótce na GF

[MichalStajszczak]

Nie bardzo rozumiem, co chcesz policzyć.

[Propi]

Nie bardzo rozumiem, co chcesz policzyć.

Ile kombinacji/akronimów może powstać łącznie przy takiej mechanice.

Jeśli moje pierwotne założenie jest poprawne - http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-4-z-26 - to czy w takim układzie powinienem po prostu dodać do siebie:

http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-4-z-26
http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-3-z-26
http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-2-z-26
http://zeszytowo.pl/kombinacje/kombinacje-1-z-26

Czyli 14950 + 2600 + 325 + 26 = 17901?

Próbuję określić rząd wielkości, jakim operuje ta gra. Na kartach tematycznych - wyznaczających kategorie w rozgrywce - jest ok. 180 podpowiedzi. Do nich losuje się akronim, z którego gracze układają nazwy i hasła. W każdej rundzie to może być od 1 do 4 liter. Chciałbym ustalić ile możliwych kombinacji tu może zaistnieć.

[MichalStajszczak]

Przyjąłeś założenie, że litery nie mogą się powtarzać, choć napisałeś wcześniej, że niektóre się powtarzają. Żeby to uwzględnić, zamiast kombinacji bez powtórzeń należy zastosować kombinacje z powtórzeniami. Jak to zrobić (przy użyciu wielomianów), pisałem kiedyś w tekście na temat gry Scrabble.
Ale nawet gdyby się nie powtarzały, to jest bonus 2x, który nakazuje powtórzenie następnej litery, co dodatkowo komplikuje sprawę.
Przede wszystkim jednak kolejność liter ma znaczenie. Należy zatem zastosować nie kombinacje tylko wariacje. Gdyby nawet litery nie mogły się powtarzać, to i tak liczba możliwości byłaby 358800 a nie 14950.

[Propi]

Przyjąłeś założenie, że litery nie mogą się powtarzać, choć napisałeś wcześniej, że niektóre się powtarzają. Żeby to uwzględnić, zamiast kombinacji bez powtórzeń należy zastosować kombinacje z powtórzeniami. Jak to zrobić (przy użyciu wielomianów), pisałem kiedyś w tekście na temat gry Scrabble.
Ale nawet gdyby się nie powtarzały, to jest bonus 2x, który nakazuje powtórzenie następnej litery, co dodatkowo komplikuje sprawę.

Mógłbym rozpisać ścianki boczne kostek i stworzyć dokładną matrycę możliwości, ale liczyłem raczej na kalkulację typu "quick and dirty" - natomiast rozumiem, że uwzględniając powtórzenia bonusów i liter, a do tego rozliczając osobno zmieniające się prawdopodobieństwo po każdym dociągnięciu kostki... robi się z tego galimatias i robota na całe popołudnie

W recenzji pójdzie "liczone w dziesiątkach tysięcy" - brzmi wystarczająco poważnie, a nie jest dalekie od prawdy

EDIT: Dzięki za kalkulację Michał!

[MichalStajszczak]

W recenzji pójdzie "liczone w dziesiątkach tysięcy" - brzmi wystarczająco poważnie, a nie jest dalekie od prawdy

Przeczytaj ostatnie zdanie z mojego posta (dopisane przed chwilą) żeby zrozumieć, że liczba możliwości jest w istocie znacznie większa (setki tysięcy bez powtórzeń, a miliony z powtórzeniami liter)

[KOSHI]

Czy jest ktoś w stanie wyliczyć ile jest kombinacji ustawień statków w bitwie morskiej przy założeniu, że mamy okręty: 4 x 1, 3 x 2, 2 x 3 i 1 raz 4. Okręty nie mogą się stykać, orientacja pion lub poziom, plansza 10x10 liczbowo numerowa więc położenie ma znaczenie. Idzie to policzyć czy trzeba wrzucać w jakiś symulator?

[MichalStajszczak]

Czy jest ktoś w stanie wyliczyć ile jest kombinacji ustawień statków w bitwie morskiej przy założeniu, że mamy okręty: 4 x 1, 3 x 2, 2 x 3 i 1 raz 4. Okręty nie mogą się stykać, orientacja pion lub poziom, plansza 10x10 liczbowo numerowa więc położenie ma znaczenie. Idzie to policzyć czy trzeba wrzucać w jakiś symulator?

Policzyć na pewno się da, jest to jednak dość uciążliwe. Znalazłem w internecie liczbę 16546192 ale nie jestem pewien, czy to na pewno poprawny wynik (raczej ta liczba odnosi się do innego układu). Zapewne trzeba zacząć od ustawienia czteromasztowca (można go ustawić na 140 sposobów ale tylko 20 różnych), po czym dodawać kolejno trzymasztowce itd. Jeden czteromasztowiec i jeden trzymasztowiec to już ponad 16 tysięcy możliwości.

[sabat24]

Użyj tego kodu, tylko zmodyfikuj flotę o Twoje ustawienia: https://hub.darcs.net/thielema/battlesh ... tenShip.hs

Przy układzie 5, 4, 3, 3, 2 rozwiązania idą w niecałe 2 miliardy.

[MichalStajszczak]

Czy jest ktoś w stanie wyliczyć ile jest kombinacji ustawień statków w bitwie morskiej przy założeniu, że mamy okręty: 4 x 1, 3 x 2, 2 x 3 i 1 raz 4. Okręty nie mogą się stykać, orientacja pion lub poziom, plansza 10x10 liczbowo numerowa więc położenie ma znaczenie.

Czy potrzebujesz dokładnego (co do sztuki) wyniku, czy wystarczy rząd wielkości? Z mojego zgrubnego oszacowania wynika, że wynik będzie w okolicach 20-30 bilionów (2-3 x 10^13).

[KOSHI]

Wynik może być z grubsza. Użył bym tego kodu ale dla mnie to magia.

[MichalStajszczak]

Dokładnej wartości nie udało mi się policzyć ale mogę podać ograniczenia z dołu i z góry oraz szacunkowy wynik.
Zacznijmy od tego, że czteromasztowiec można ustawić na 140 sposobów przy czym istotnie różnych jest 20.
Dla każdego położenia czteromasztowca policzyłem liczbę możliwych ustawień dwóch trzymasztowców. Oczywiście najwięcej możliwości daje ustawienie czteromasztowca w narożniku - wtedy trzymasztowce można ustawić na 7542 sposoby. Za to przy ustawieniu czteromasztowca na polach D4567 trzymasztowce można rozmieścić tylko na 4362 sposoby. Ogólnie mamy blisko 800 tysięcy (dokładnie 786968) sposobów na rozlokowanie czteromasztowca i dwóch trzymasztowców.
Jeżeli czteromasztowiec i trzymasztowce są ustawione w rogach planszy, 3 dwumasztowce można ustawić na około 190 tysięcy sposobów. Ale gdy czteromasztowiec i trzymasztowce są ustawione w centrum planszy w taki sposób, że żadne pole nie jest wykluczone dwa razy, liczba ustawień dwumasztowców spada do około 26 tysięcy.
Na koniec jednomasztowce. Jeżeli dwu-, trzy- i czteromasztowce ustawimy na dwóch krańcowych liniach, to na środku zostaje obszar 6x10. Cztery jednomasztowce można ustawić na nim na ok. 234 tysiące sposobów. Ale jeżeli ustawimy dwu-, trzy- i czteromasztowce tak, że każde pole jest wykluczone tylko raz, na jednomasztowce zostaje 16 pól. Gdy jest to kwadrat 4x4, jednomasztowce można na nim ustawić na zaledwie 79 sposobów.
Ograniczenie z dołu to 786968 x 26000 x 79 =1,6 x 10 ^12 (1 bilion 600 miliardów).
Ograniczenie z góry to 786968 x 190000 x 234000 = 3,5 x 10^16 (35 biliardów czyli 35 tysięcy bilionów).
Można spróbować oszacować wynik, używając do obliczeń średniej zamiast wartości granicznych. Moim zdaniem lepiej nadaje się tu średnia geometryczna. Dla dwumasztowców będzie to ok. 70 tysięcy, a dla jednomasztowców 4300. Po przemnożeniu uzyskujemy wynik 2,4 x 10^14 czyli 240 bilionów.
Ciekawe, jaka jest dokładna wartość.

[KOSHI]

A podobno to jest prosta gra. Poszukałem nawet coś tam na jej temat i okazuje się, że jak z każdą gra, są taktyki jak strzelać, żeby mieć większe szanse i to nawet w jakims tam rozbiciu w zależności, czy statki są poupychane przy linii czy rozrzucone, bo z jednej strony te przy linii łatwiej zatopić, ale z drugiej strony jak przeciwnik kropkuje dookoła to ma więcej pól do obstrzelania potem. Konkluzja była taka, żeby większe upchnąć przy linii, a mniejsze "w polu" i niech przeciwnik szuka w praktycznie całym zakresie.

[sabat24]

W tę gre ciekawie jest zagrać wielokrotnie z jedną osobą i wyłonić wygranego np. po x partiach. Wtedy masz trochę zagwozdkę nad taktyką jak przy iteracyjnym rozwiązywaniu dylematu więźnia.

[Kisun]

Te miliony ułożeń w praktyce nie mają znaczenia. Pół jest 100 a 20 z nich będą zajęte przez statki. Oczywiście, przyjmując, że dla strzelającego ważne jest tylko czy trafił co kolwiek . Ciekawi mnie ile maksymalnie możliwych jest układów niepowtarzalnych? By każde pole mogło być zajęte maksymalnie raz - przez dowolną część statku. W sensie, że wszystkie trafienia w następnych partiach będą już pudłami. Dokładnie 5, czy mniej? Jak takie coś policzyć (wykazać)?

[MichalStajszczak]

Te miliony ułożeń w praktyce nie mają znaczenia. Pół jest 100 a 20 z nich będą zajęte przez statki. Oczywiście, przyjmując, że dla strzelającego ważne jest tylko czy trafił co kolwiek . Ciekawi mnie ile maksymalnie możliwych jest układów niepowtarzalnych? By każde pole mogło być zajęte maksymalnie raz - przez dowolną część statku. W sensie, że wszystkie trafienia w następnych partiach będą już pudłami. Dokładnie 5, czy mniej? Jak takie coś policzyć (wykazać)?

Czy masz na myśli zrobienie "exact cover" czyli stworzenie 5 zbiorów nie mających parami wspólnych części?

[Propi]

To ja dzisiaj coś na miękko.

Dobieramy 18 kart z 30 możliwych. (na potrzeby wyliczeń - karty są unikatowe)
Dzielimy je na 3 stosy po 6.
Karty odkrywamy po kolei - więc kolejność jest istotna.

1. Ile jest możliwych, unikatowych partii, w których kolejność kart i ich treść się nie powtórzą?
2. Każdą z nich możemy wykorzystać na 4 sposoby (obrót o 90, 180, 270 i 360 stopni). Jak to zwiększa możliwe sposoby rozegrania tych partii?
3. W grze występują asymetryczne planszetki, które co prawda mają tyle samo pól, ale pola są inaczej rozmieszczone. Jak to wpływa na zróżnicowanie partii w rozumieniu gracza (powyższe wyliczenie x8, bo każdy może każdą możliwą partię rozegrać na każdej planszetce?)?

Gra to https://www.gamesfanatic.pl/2023/01/08/ ... iebosklon/