Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Po kolei:
- 18 kart z 30 można wybrać na C(30,18)=86.493.225 sposobów
- 18 kart dzielimy na 3 stosy po 6 na 17.153.136 sposobów ale skoro ważna jest kolejność w każdym stosie, to jest to tak, jakbyśmy mieli jeden stos 18 kart, który można uporządkować na 18!=6,4 x 10^15 sposobów
Czyli w istocie sprowadza się to do wariacji bez powtórzeń 18 elementów z 30, co daje wynik w przybliżeniu 5,54 x 10^23
Jeżeli każdą z tych 18 kart można wykorzystać na 4 sposoby, to wynik trzeba przemnożyć przez 4^18 = 6,87 x 10^10.
W rezultacie mamy 3,81 x 10^34 możliwych gier.
Mamy więc (klimatycznie) liczbę kosmiczną
- 18 kart z 30 można wybrać na C(30,18)=86.493.225 sposobów
- 18 kart dzielimy na 3 stosy po 6 na 17.153.136 sposobów ale skoro ważna jest kolejność w każdym stosie, to jest to tak, jakbyśmy mieli jeden stos 18 kart, który można uporządkować na 18!=6,4 x 10^15 sposobów
Czyli w istocie sprowadza się to do wariacji bez powtórzeń 18 elementów z 30, co daje wynik w przybliżeniu 5,54 x 10^23
Jeżeli każdą z tych 18 kart można wykorzystać na 4 sposoby, to wynik trzeba przemnożyć przez 4^18 = 6,87 x 10^10.
W rezultacie mamy 3,81 x 10^34 możliwych gier.
Mamy więc (klimatycznie) liczbę kosmiczną
Ostatnio zmieniony 26 sty 2023, 12:36 przez MichalStajszczak, łącznie zmieniany 1 raz.
- wis
- Posty: 1231
- Rejestracja: 20 sty 2009, 18:01
- Lokalizacja: Gliwice
- Has thanked: 59 times
- Been thanked: 24 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
ad.1 Wystarczająco.Propi pisze: ↑26 sty 2023, 12:09 To ja dzisiaj coś na miękko.
Dobieramy 18 kart z 30 możliwych. (na potrzeby wyliczeń - karty są unikatowe)
Dzielimy je na 3 stosy po 6.
Karty odkrywamy po kolei - więc kolejność jest istotna.
1. Ile jest możliwych, unikatowych partii, w których kolejność kart i ich treść się nie powtórzą?
2. Każdą z nich możemy wykorzystać na 4 sposoby (obrót o 90, 180, 270 i 360 stopni). Jak to zwiększa możliwe sposoby rozegrania tych partii?
3. W grze występują asymetryczne planszetki, które co prawda mają tyle samo pól, ale pola są inaczej rozmieszczone. Jak to wpływa na zróżnicowanie partii w rozumieniu gracza (powyższe wyliczenie x8, bo każdy może każdą możliwą partię rozegrać na każdej planszetce?)?
Gra to https://www.gamesfanatic.pl/2023/01/08/ ... iebosklon/
ad.2 4 do potęgi [ilość zagrywanych kart]
ad.3 To już spytaj testerów - nie wszystko, co się matematycznie spina, przekłada się na uczucia graczy.
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Przydarzyło mi się testować grę, w której jeden z elementów stosujący mechanikę "push your luck" wydał nam się wyjątkowo mało opłacalny. Zastanawia mnie, jak by się to prezentowało matematycznie i czy odczucia znajdą odzwierciedlenie w liczbach.
Sytuację można uprościć do czegoś takiego – mam woreczek, w którym jest 48 białych kul i 40 czarnych. Wyciągam po 1 naraz. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia 10 białych kul zanim wyciągnie się 5 czarnych (wyciągnięcie piątej oznacza porażkę)?
Czy prawdopodobieństwo zmieni się znacząco, jeśli zwiększymy limit do 6, 7 czarnych?
Sytuację można uprościć do czegoś takiego – mam woreczek, w którym jest 48 białych kul i 40 czarnych. Wyciągam po 1 naraz. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia 10 białych kul zanim wyciągnie się 5 czarnych (wyciągnięcie piątej oznacza porażkę)?
Czy prawdopodobieństwo zmieni się znacząco, jeśli zwiększymy limit do 6, 7 czarnych?
- PytonZCatanu
- Posty: 4566
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1702 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Próbowałem sobie to rozpisać, ale chyba poległem. Aż jestem ciekawy!sirafin pisze: ↑07 lut 2023, 11:55 Przydarzyło mi się testować grę, w której jeden z elementów stosujący mechanikę "push your luck" wydał nam się wyjątkowo mało opłacalny. Zastanawia mnie, jak by się to prezentowało matematycznie i czy odczucia znajdą odzwierciedlenie w liczbach.
Sytuację można uprościć do czegoś takiego – mam woreczek, w którym jest 48 białych kul i 40 czarnych. Wyciągam po 1 naraz. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia 10 białych kul zanim wyciągnie się 5 czarnych (wyciągnięcie piątej oznacza porażkę)?
Czy prawdopodobieństwo zmieni się znacząco, jeśli zwiększymy limit do 6, 7 czarnych?
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie mam w tej chwili czasu żeby dokładnie policzyć ale na szybko podaję schemat rozwiązania:
Losujemy 14 kul z 88 - liczymy kombinacje 14 z 88.
Mamy następujące możliwości wygranej:
- 14 białych i 0 czarnych - kombinacje 14 z 48
- 13 białych i 1 czarna - kombinacje 13 z 48 razy 40
- 12 białych i 2 czarne - kombinacje 12 z 48 razy kombinacje 2 z 40
- 11 białych i 3 czarne - kombinacje 11 z 48 razy kombinacje 3 z 40
- 10 białych i 4 czarne - kombinacje 10 z 48 razy kombinacje 4 z 40
Sumujemy wyniki tych 5 układów i dzielimy przez kombinacje 14 z 88 - to nam daje szukane prawdopodobieństwo.
Analogicznie robimy dla 6 czarnych, tylko wtedy trzeba losować 15 kul.
-
- Posty: 532
- Rejestracja: 22 cze 2021, 17:15
- Lokalizacja: Rzeszów
- Has thanked: 155 times
- Been thanked: 59 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tu przydałoby się wyjaśnienie od autora pierwotnego postu, czy kule wracają do worka, bo to będzie miało znaczenie przy liczeniu prawdopodobieństwa.MichalStajszczak pisze: ↑07 lut 2023, 14:38Nie mam w tej chwili czasu żeby dokładnie policzyć ale na szybko podaję schemat rozwiązania:
Losujemy 14 kul z 88 - liczymy kombinacje 14 z 88.
Mamy następujące możliwości wygranej:
- 14 białych i 0 czarnych - kombinacje 14 z 48
- 13 białych i 1 czarna - kombinacje 13 z 48 razy 40
- 12 białych i 2 czarne - kombinacje 12 z 48 razy kombinacje 2 z 40
- 11 białych i 3 czarne - kombinacje 11 z 48 razy kombinacje 3 z 40
- 10 białych i 4 czarne - kombinacje 10 z 48 razy kombinacje 4 z 40
Sumujemy wyniki tych 5 układów i dzielimy przez kombinacje 14 z 88 - to nam daje szukane prawdopodobieństwo.
Analogicznie robimy dla 6 czarnych, tylko wtedy trzeba losować 15 kul.
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Słuszne spostrzeżenie. Ja założyłem, że nie wracają, bo gdyby wracały, to by ich tyle w worku nie musiało być.
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Szansa na wygraną, czyli wyciągnięcie 10 białych kul zanim pojawi się n czarnych:
- dla n=5: 13,7%
- dla n=6: 22,8%
- dla n=7: 33,6%
- dla n=8: 45,9%
- dla n=5: 13,7%
- dla n=6: 22,8%
- dla n=7: 33,6%
- dla n=8: 45,9%
-
- Posty: 739
- Rejestracja: 15 paź 2018, 21:52
- Lokalizacja: Elbląg
- Has thanked: 105 times
- Been thanked: 440 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Przyznaję, że to sprytny sposób - dałem się złapać, bo myślałem, że to raczej błędna logika, ale obliczenia mnie zweryfikowały.MichalStajszczak pisze: ↑07 lut 2023, 14:38Nie mam w tej chwili czasu żeby dokładnie policzyć ale na szybko podaję schemat rozwiązania:
Losujemy 14 kul z 88 - liczymy kombinacje 14 z 88.
Mamy następujące możliwości wygranej:
- 14 białych i 0 czarnych - kombinacje 14 z 48
- 13 białych i 1 czarna - kombinacje 13 z 48 razy 40
- 12 białych i 2 czarne - kombinacje 12 z 48 razy kombinacje 2 z 40
- 11 białych i 3 czarne - kombinacje 11 z 48 razy kombinacje 3 z 40
- 10 białych i 4 czarne - kombinacje 10 z 48 razy kombinacje 4 z 40
Sumujemy wyniki tych 5 układów i dzielimy przez kombinacje 14 z 88 - to nam daje szukane prawdopodobieństwo.
Analogicznie robimy dla 6 czarnych, tylko wtedy trzeba losować 15 kul.
Ja myślałem w taki sposób: jeśli pierwsze 10 kul będzie białych, to nie dociągamy kolejnych 4, tylko przestajemy dociągać.
Więc permutacja 14 kul CCCCBBBBBBBBBB (4 czarne, 10 białych) ma sens i powinna być rozpatrywana, ale już BBBBBBBBBBCCCC (10 białych i 4 czarne) oraz BBBBBBBBBBBCCC (11 białych i 3 czarne) powinny być traktowane jako ten sam przypadek (bo dociągnęliśmy 10 białych kul).
Można zastosować podejście Michała ale inaczej zorganizowane, czyli następujące możliwości wygranej:
- szansa na 9 białych i 0 czarnych (kolejność nieistotna) razy szansa na dociągnięcie dziesiątej białej, czyli 39/79
- szansa na 9 białych i 1 czarną (kolejność nieistotna) razy szansa na dociągnięcie dziesiątej białej, czyli 39/78
- szansa na 9 białych i 2 czarne (kolejność nieistotna) razy szansa na dociągnięcie dziesiątej białej, czyli 39/77
- szansa na 9 białych i 3 czarne (kolejność nieistotna) razy szansa na dociągnięcie dziesiątej białej, czyli 39/76
- szansa na 9 białych i 4 czarne (kolejność nieistotna) razy szansa na dociągnięcie dziesiątej białej, czyli 39/75
- itd. jeśli chcemy rozpatrywać n czarnych wyższe niż 5
Tutaj przygotowałem wzór: https://www.wolframalpha.com/input?i=su ... 3D0+to+n-1
Wyniki identyczne z tymi Michała (z jedną różnicą, że dla n=8 wychodzi mi 45,3%). W powyższym linku, przy wynikowej tabelce wystarczy kliknąć "More" aby załadować wyniki dla wyższych n, albo ręcznie manipulować jej wartością w polu tekstowym.
Spoiler:
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Na pierwszy rzut oka logika faktycznie wygląda na błędną. Z punktu widzenia gracza losowanie jedenastej kulki, gdy mamy już 10 białych jest bez sensu. Ale matematycznie ma to sens i jednocześnie pozwala uprościć obliczenia. Algorytm odwzorowujący rzeczywistą rozgrywkę musiałby wyglądać tak:
- liczymy prawdopodobieństwo p0 10 białych kul w 10 pierwszych losowaniach
- zapisujemy p0 i liczymy prawdopodobieństwo wylosowania w 11 rzucie białej, pod warunkiem, że w 10 rzutach została wylosowana jedna czarna i 9 białych, mnożymy wynik przez 1-p0 i w ten sposób trzymujemy p1
- powtarzamy ten schemat dla przypadku białej, wylosowanej w 12 ruchu, pod warunkiem, że wcześniej wypadły 2 czarne i 9 białych itd.
Jak widać obliczenia stają się bardzo skomplikowane i być może na tym "poległ" (jak sam napisał) Pyton z Catanu.
- PytonZCatanu
- Posty: 4566
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1702 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tak, zacząłem to tak rozpisywać i mnie to przytłoczyło. Twój sposób jest cwańszy
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie wracają. Dzięki za wyliczenia! Szanse powodzenia faktycznie były niewielkie, teraz przynajmniej mam pewność, że to nie kwestia wyjątkowego pechaMichalStajszczak pisze: ↑07 lut 2023, 16:27Ja założyłem, że nie wracają, bo gdyby wracały, to by ich tyle w worku nie musiało być.
-
- Administrator
- Posty: 4743
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1248 times
- Been thanked: 1466 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Sprawdzał ktoś może jak czat GPT radzi sobie z odpowiedziami na takie pytania?
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Gdyby kule wracały po losowaniu do worka, wynik nieznacznie by się zmienił (dla 5 czarnych kul byłoby ok. 16% zamiast 13%). Zasadnicze pytanie - bardziej chyba do autora gry: czy zdawał sobie sprawę z tego, jakie są mniej więcej szanse na spełnienie warunku i czy było jego intencją ustawienie ich na takim poziomie?sirafin pisze: ↑08 lut 2023, 08:20Nie wracają. Dzięki za wyliczenia! Szanse powodzenia faktycznie były niewielkie, teraz przynajmniej mam pewność, że to nie kwestia wyjątkowego pechaMichalStajszczak pisze: ↑07 lut 2023, 16:27Ja założyłem, że nie wracają, bo gdyby wracały, to by ich tyle w worku nie musiało być.
- PytonZCatanu
- Posty: 4566
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1702 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Z tego co rozumiem, tej chat jest botem JĘZYKOWYM. Czyli nie liczy nic samemu, tylko "zgaduje " ciąg słów. Nie ufałbym mu w obliczeniach.
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Sprawdź, czy będzie umiał wypełnić formularz PITa.
-
- Administrator
- Posty: 4743
- Rejestracja: 21 lip 2019, 11:10
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 1248 times
- Been thanked: 1466 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Nie mówię, żeby ufać, tylko żeby sprawdzićPytonZCatanu pisze: ↑08 lut 2023, 11:41 Z tego co rozumiem, tej chat jest botem JĘZYKOWYM. Czyli nie liczy nic samemu, tylko "zgaduje " ciąg słów. Nie ufałbym mu w obliczeniach.
- Beo
- Posty: 129
- Rejestracja: 02 wrz 2018, 11:10
- Lokalizacja: Łódź
- Has thanked: 125 times
- Been thanked: 37 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Jak ktoś jest ciekawy jak sobie radzi, to screeny w spoilerze. A prawdziwy spojler jest taki, że raczej kiepsko. Jak coś to po angielsku.
Spoiler:
-
- Posty: 2533
- Rejestracja: 22 sie 2015, 13:48
- Has thanked: 1030 times
- Been thanked: 503 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Haha, coś z matmy słaby jest .
planszomania.pl - 10%
(rabat nie działa na pozycje już zrabatowane!)
(rabat nie działa na pozycje już zrabatowane!)
- PytonZCatanu
- Posty: 4566
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1702 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Dwa posty wyżej napisałem: to bot językowy. On nic nie liczy, próbuje zgadnąć tylko sekwencję słów.
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024
- garg
- Posty: 4489
- Rejestracja: 16 wrz 2009, 15:26
- Lokalizacja: Warszawa/Zielonka
- Has thanked: 1450 times
- Been thanked: 1104 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tam może sobie akurat poradzić doskonale, bo ten formularz to raczej nie dla ludzi jest...
Mam / Sprzedam/wymienię
(Może nie wystawiłem, ale też chętnie wymienię)
Najstarszy offtop świata: Ceterum censeo Carthaginem esse delendam ;-)
(Może nie wystawiłem, ale też chętnie wymienię)
Najstarszy offtop świata: Ceterum censeo Carthaginem esse delendam ;-)
- BartP
- Administrator
- Posty: 4721
- Rejestracja: 09 lis 2010, 12:34
- Lokalizacja: Gdynia
- Has thanked: 384 times
- Been thanked: 886 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Normalnie gada jak sporo osób, których spotykam lub słyszę w życiu. Oddech wychodzi, słowa się formują, ale sens wyjechał na wakacje.
Sprzedam nic
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Tak off-topicowo przypomniał mi się dowcip sprzed lat circa 50 na temat pierwszego komputera w ZSRS. Miał odpowiedzieć na każde pytanie, więc wprowadzono do niego wszystkie dane statystyczne, wszystkie dzieła klasyków itd. Na inaugurację zaproszono całe biuro polityczne na czele z Breżniewem, najwybitniejszych naukowców, czołowych pisarzy i inne znakomitości. Oczywiście zaszczyt zadania komputerowi pierwszego pytania przypadł sekretarzowi generalnemu. Towarzysz Breżniew chwilę pomyślał, po czym zapytał "ile nam jeszcze brakuje do komunizmu?". Pytanie zostało zapisane na taśmie perforowanej i wprowadzone do komputera. Komputer zazgrzytał, różne lampki co chwila zapalały się i gasły, po czym wypluł odpowiedź: "15 kilometrów". Towarzysz Breżniew zrobił zaskoczoną minę, a konstruktor komputera zbladł i jeszcze raz wprowadził pytanie myśląc, że pewnie coś się źle wczytało. Ale komputer ponownie odpowiedział: "15 kilometrów". Towarzysz Breżniew spojrzał groźnie ale w tym momencie odezwał się znawca dzieł marksistów: "towarzysz Lenin powiedział kiedyś, że każdy zrealizowany plan pięcioletni to krok do komunizmu".PytonZCatanu pisze: ↑08 lut 2023, 12:42 Dwa posty wyżej napisałem: to bot językowy. On nic nie liczy, próbuje zgadnąć tylko sekwencję słów.
- MichalStajszczak
- Posty: 9477
- Rejestracja: 31 sty 2005, 19:42
- Lokalizacja: Warszawa
- Has thanked: 511 times
- Been thanked: 1449 times
- Kontakt:
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Dawno nikt w tym wątku nic nie napisał, więc postanowiłem go odkopać, przedstawiając następujący problem:
Mamy planszę z polami oznaczonymi liczbami od 1 do 100 oraz uporządkowane w kolejności rosnącej żetony, również z liczbami od 1 do 100. Żeton numer 1 kładziemy na losowo wybranym polu, natomiast każdy kolejny albo na polu z jego numerem (o ile to pole jest wolne) albo na losowym (jeżeli pole z tym numerem jest zajęte). Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatni żeton trafi na pole o numerze 100?
Mamy planszę z polami oznaczonymi liczbami od 1 do 100 oraz uporządkowane w kolejności rosnącej żetony, również z liczbami od 1 do 100. Żeton numer 1 kładziemy na losowo wybranym polu, natomiast każdy kolejny albo na polu z jego numerem (o ile to pole jest wolne) albo na losowym (jeżeli pole z tym numerem jest zajęte). Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatni żeton trafi na pole o numerze 100?
Spoiler:
- PytonZCatanu
- Posty: 4566
- Rejestracja: 23 mar 2017, 13:53
- Has thanked: 1702 times
- Been thanked: 2144 times
Re: Matematyka gier - kombinacje i probabilistyka
Strzelam na czuja:MichalStajszczak pisze: ↑15 kwie 2023, 11:19 Dawno nikt w tym wątku nic nie napisał, więc postanowiłem go odkopać, przedstawiając następujący problem:
Mamy planszę z polami oznaczonymi liczbami od 1 do 100 oraz uporządkowane w kolejności rosnącej żetony, również z liczbami od 1 do 100. Żeton numer 1 kładziemy na losowo wybranym polu, natomiast każdy kolejny albo na polu z jego numerem (o ile to pole jest wolne) albo na losowym (jeżeli pole z tym numerem jest zajęte). Jakie jest prawdopodobieństwo, że ostatni żeton trafi na pole o numerze 100?Spoiler:
Spoiler:
Garść statystyk z BGG | Moje TOP 100 - stan na 1.01.2024